Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.
c.
. [resp.:
.]
c.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um campo vetorial conservativo cujo potencial é f(x,y,z)=sin(x²+y²+z²). Isso significa usar o operador gradiente (∇) sobre f para obter F. Vamos aplicar a teoria de campos conservativos, que diz que F=∇f.
Passo 2
Para calcular o gradiente, usamos a regra da cadeia. Primeiro, note que f(x,y,z)=sin(u) com u=x²+y²+z². Então ∂f/∂x=cos(u)·∂u/∂x, e como ∂u/∂x=2x, temos
De modo análogo,
Passo 3
Juntando essas derivadas parciais, o gradiente fica
Esse F é conservativo e seu potencial é exatamente f.
Resposta
F(x,y,z)=(2x\cos(x2+y2+z^2), 2y\cos(x2+y2+z^2), 2z\cos(x2+y2+z^2))