Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.
c. f(x, y, z)=sin (x^2+y^2+z^2). [resp.: F(x, y, z)=(2 x cos (x^2+y^2+ z^2), 2 y cos (x^2+y^2+z^2), 2 z cos (x^2+ y^2+z^2)).]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um campo vetorial conservativo cujo potencial é f(x,y,z)=sin(x²+y²+z²). Isso significa usar o operador gradiente (∇) sobre f para obter F. Vamos aplicar a teoria de campos conservativos, que diz que F=∇f.

Passo 2

Para calcular o gradiente, usamos a regra da cadeia. Primeiro, note que f(x,y,z)=sin(u) com u=x²+y²+z². Então ∂f/∂x=cos(u)·∂u/∂x, e como ∂u/∂x=2x, temos
partial fpartial x=2xcosl(x^2+y^2+z^2r)
De modo análogo,
partial fpartial y=2ycosl(x^2+y^2+z^2r),
partial fpartial z=2zcosl(x^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Juntando essas derivadas parciais, o gradiente fica
F(x,y,z)=nabla f(x,y,z)=l(2xcos(x^2+y^2+z^2),;2ycos(x^2+y^2+z^2),;2zcos(x^2+y^2+z^2)r)
Esse F é conservativo e seu potencial é exatamente f.

Resposta

F(x,y,z)=(2x\cos(x2+y2+z^2), 2y\cos(x2+y2+z^2), 2z\cos(x2+y2+z^2))

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