Calcule as integrais indefinidas
integral x^3raiz25-x^2 d x

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de x^3raiz25 - x^2 em relação a x. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Escolhemos uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador raiz25 - x^2, uma boa opção é definir u = 25 - x^2. Isso vai simplificar a raiz quadrada na expressão.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = -2x
Isso significa que:
du = -2x , dx
Rearranjando para encontrar x , dx:
x , dx = -du2

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral x^3raiz25 - x^2 , dx = integral x^2 cdot xraizu cdot dx
Sabemos que x^2 = 25 - u, então substituímos:
= integral 25 - uraizu cdot (-du2)

Passo 5

Podemos separar a integral em duas partes:
= -12 integral 25raizu , du + 12 integral uraizu , du
Simplificando as frações dentro das integrais:
= -252 integral u^-1/2 , du + 12 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, integramos cada termo:
- 252 cdot 2u^1/2 + 12 cdot 23u^3/2 + C
Simplificando:
-25 raizu + 13 u^3/2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = 25 - x^2 de volta na expressão:
-25 raiz25 - x^2 + 13 (25 - x^2)^3/2 + C

Resposta

A integral integral x^3raiz25 - x^2 , dx é igual a:
-25 raiz25 - x^2 + 13 (25 - x^2)^3/2 + C

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