Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
j. integralgamma 3 y^4 z^2 d x+4 x^3 y^2 d y-3 x^2 y^2 d z. [resp.: não conservativo.]

Passo 1

Temos a forma diferencial omega=3y^4z^2,dx+4x^3y^2,dy-3x^2y^2,dz definida em R^3, que é simplesmente conexo. Para saber se é exata (i.e., se o campo é conservativo), usamos o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=partialpartial y(3y^4z^2)=12y^3z^2
partial Qpartial x=partialpartial x(4x^3y^2)=12x^2y^2

Passo 3

Como 12y^3z^2neq12x^2y^2 em geral, já falha a primeira condição de exatidão. Não precisamos nem verificar as outras.
Portanto a forma não é exata e o campo não é conservativo.

Resposta

não conservativo

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