Calcule as integrais indefinidas
integral 4 x-2(x+1)(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente quer fazer aqui é calcular a integral indefinida de $ \frac{4x - 2}{(x + 1)(x^2 + 4)} $ em relação a $ x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre frações parciais, que a gente usa pra simplificar integrais de funções racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração $ \frac{4x - 2}{(x + 1)(x^2 + 4)} $ em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 3

Vamos supor que:
4x - 2(x + 1)(x^2 + 4) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar $ A $, $ B $ e $ C $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (x + 1)(x^2 + 4) $:
A

Passo 5

Vamos expandir o lado direito:
4x - 2 = A x^2 + 4A + Bx(x + 1) + C(x + 1)
4x - 2 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
4x - 2 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (4A + C)

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
x

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: $ B = -A $.
  2. Substituindo $ B = -A $ na segunda equação: $ -A + C = 4 $ => $ C = A + 4 $.
  3. Substituindo $ C = A + 4 $ na terceira equação: $ 4A + (A + 4) = -2 $ => $ 5A + 4 = -2 $ => $ 5A = -6 $ => $ A = -\frac{6}{5} $.
  4. Então, $ B = -A = \frac{6}{5} $.
  5. E $ C = A + 4 = -\frac{6}{5} + 4 = \frac{14}{5} $.

Passo 9

Agora que temos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a fração original como:
A
B

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 4x - 2(x + 1)(x^2 + 4) dx = -65 integral 1x + 1 dx + 65 integral xx^2 + 4 dx + 145 integral 1x^2 + 4 dx

Passo 11

Vamos resolver cada integral:
  1. $ \int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1| + C $
  2. $ \int \frac{x}{x^2 + 4} dx $: Fazemos uma substituição $ u = x^2 + 4 $, então $ du = 2x dx $, logo $ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| $
  3. $ \int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C $

Passo 12

Substituindo de volta:
-65 ln|x + 1| + 65 cdot 12 ln|x^2 + 4| + 145 cdot 12 tan^-1(x2) + C
= -65 ln|x + 1| + 35 ln|x^2 + 4| + 75 tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral indefinida é:
-65 ln|x + 1| + 35 ln|x^2 + 4| + 75 tan^-1(x2) + C

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