Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente quer fazer aqui é calcular a integral indefinida de $ \frac{4x - 2}{(x + 1)(x^2 + 4)} $ em relação a $ x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre frações parciais, que a gente usa pra simplificar integrais de funções racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração $ \frac{4x - 2}{(x + 1)(x^2 + 4)} $ em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 3
Vamos supor que:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para achar $ A $, $ B $ e $ C $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (x + 1)(x^2 + 4) $:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação: $ B = -A $.
- Substituindo $ B = -A $ na segunda equação: $ -A + C = 4 $ => $ C = A + 4 $.
- Substituindo $ C = A + 4 $ na terceira equação: $ 4A + (A + 4) = -2 $ => $ 5A + 4 = -2 $ => $ 5A = -6 $ => $ A = -\frac{6}{5} $.
- Então, $ B = -A = \frac{6}{5} $.
- E $ C = A + 4 = -\frac{6}{5} + 4 = \frac{14}{5} $.
Passo 9
Agora que temos $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a fração original como:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 11
Vamos resolver cada integral:
- $ \int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1| + C $
- $ \int \frac{x}{x^2 + 4} dx $: Fazemos uma substituição $ u = x^2 + 4 $, então $ du = 2x dx $, logo $ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| $
- $ \int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C $
Passo 12
Substituindo de volta:
Resposta
A integral indefinida é: