Função auxiliar L(x, y, \lambda)=5-x^{2}-y^{2}-\lambda(x+y-4)
\begin{gathered} \frac{\partial L}{\partial x}=-2 x-\lambda .1 \\\ \frac{\partial L}{\partial y}=-2 y-\lambda .1 \\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+y-4) \end{gathered}
CPO:
\left\{\begin{array}{c} -2 x-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-2 x \\\\ -2 y-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-2 y \\\\ -(x+y-4)=0 \Rightarrow x+y=4 \\\\ -2 x=-2 y \Leftrightarrow x=y \end{array}\right.
Aplicando na 3^{2} equação, x+x=4 \Leftrightarrow x=2=y
Ponto (2,2)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo e deixando claro):
  • Função objetivo: f(x,y)=5-x^{2}-y^{2}.
  • Restrição (ligadura): x+y=4.
  • Foi fornecida a função Lagrangeana
L(x,y,\lambda)=5-x^{2}-y^{2}-\lambda(x+y-4),
e as derivadas parciais
\frac{\partial L}{\partial x}=-2x-\lambda,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=-2y-\lambda,\qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+y-4).
  • O objetivo: encontrar os pontos (x,y) que tornam f extremo (máximo ou mínimo) sob a restrição x+y=4, e determinar o tipo de extremo.

Passo 2

Entendendo a ideia por trás das equações fornecidas (sem pular etapas):
  • A técnica usada é montar a Lagrangeana e igualar as derivadas parciais a zero para achar pontos críticos sob a restrição. O sentido é resolver o sistema
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.
  • Interpretando cada equação: \frac{\partial L}{\partial x}=0 e \frac{\partial L}{\partial y}=0 expressam que o gradiente de f é paralelo ao gradiente da restrição (multiplicado por \lambda). A terceira equação é simplesmente a restrição x+y=4. Vou usar as derivadas que foram dadas.

Passo 3

Escrever explicitamente o sistema a resolver e simplificá‑lo:
A partir das derivadas podemos escrever o sistema
\begin{cases} -2x-\lambda=0,\\[4pt] -2y-\lambda=0,\\[4pt] -(x+y-4)=0. \end{cases}
Simplificando cada linha obtemos
\begin{cases} \lambda=-2x,\\[4pt] \lambda=-2y,\\[4pt] x+y=4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (álgebra direta, sem pular etapas):
  • Das duas primeiras equações temos
-2x=-2y \quad\Rightarrow\quad x=y.
  • Substituindo x=y na terceira equação x+y=4 obtemos
x+x=4 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
  • Como x=y, segue y=2.
  • Podemos também obter \lambda se quisermos: \lambda=-2x=-2\cdot 2=-4. (Isso não é pedido, mas confirma consistência.)

Passo 5

Calcular o valor da função objetivo no ponto encontrado:
  • Substituindo (x,y)=(2,2) em f:
f(2,2)=5-2^{2}-2^{2}=5-4-4= -3.

Passo 6

Classificar o extremo (máximo ou mínimo) de forma didática e sem jargões desnecessários:
  • Olhe para a função f(x,y)=5-x^{2}-y^{2}. As segundas derivadas mistas são nulas e a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) é
H_f=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
  • As entradas diagonais são negativas e os autovalores dessa matriz são -2 e -2, ambos negativos. Isso significa que f é estritamente côncava (forma de “montanha” virada para baixo). Para uma função côncava, qualquer ponto estacionário sujeito a uma restrição linear é um máximo local; como a restrição é uma reta (conjunto convexo) e a função é estritamente côncava, o ponto estacionário é, na verdade, o máximo global sobre a reta.
  • Intuição geométrica alternativa e simples: maximizar 5-x^{2}-y^{2} é o mesmo que minimizar x^{2}+y^{2} (pois 5 é constante). Minimizar x^{2}+y^{2} sujeito a x+y=4 significa encontrar o ponto da reta x+y=4 mais próximo da origem; esse ponto é exatamente a projeção ortogonal da origem na reta, que é (2,2). Esse ponto é único e fornece o máximo de f na restrição.]

Passo 7

Resumo final (o que foi encontrado e conclusão motivadora):
  • O sistema de Lagrange levou ao único ponto crítico (2,2).
  • A análise da Hessiana/concavidade mostra que esse ponto é um máximo (global na reta).
  • Valor máximo sob a restrição: f(2,2)=-3.
  • Bom trabalho: apesar do cálculo simples, é importante entender por que a matriz Hessiana negativa garante máximo — essa é a peça que evita dúvidas na prova. Vai dar certo!

Resposta

(2,2)
f(2,2)=-3

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