O objetivo: encontrar os pontos (x,y) que tornam f extremo (máximo ou mínimo) sob a restrição x+y=4, e determinar o tipo de extremo.
Passo 2
Entendendo a ideia por trás das equações fornecidas (sem pular etapas):
A técnica usada é montar a Lagrangeana e igualar as derivadas parciais a zero para achar pontos críticos sob a restrição. O sentido é resolver o sistema
Interpretando cada equação: \frac{\partial L}{\partial x}=0 e \frac{\partial L}{\partial y}=0 expressam que o gradiente de f é paralelo ao gradiente da restrição (multiplicado por \lambda). A terceira equação é simplesmente a restrição x+y=4. Vou usar as derivadas que foram dadas.
Passo 3
Escrever explicitamente o sistema a resolver e simplificá‑lo:
A partir das derivadas podemos escrever o sistema
As entradas diagonais são negativas e os autovalores dessa matriz são -2 e -2, ambos negativos. Isso significa que f é estritamente côncava (forma de “montanha” virada para baixo). Para uma função côncava, qualquer ponto estacionário sujeito a uma restrição linear é um máximo local; como a restrição é uma reta (conjunto convexo) e a função é estritamente côncava, o ponto estacionário é, na verdade, o máximo global sobre a reta.
Intuição geométrica alternativa e simples: maximizar 5-x^{2}-y^{2} é o mesmo que minimizar x^{2}+y^{2} (pois 5 é constante). Minimizar x^{2}+y^{2} sujeito a x+y=4 significa encontrar o ponto da reta x+y=4 mais próximo da origem; esse ponto é exatamente a projeção ortogonal da origem na reta, que é (2,2). Esse ponto é único e fornece o máximo de f na restrição.]
Passo 7
Resumo final (o que foi encontrado e conclusão motivadora):
O sistema de Lagrange levou ao único ponto crítico (2,2).
A análise da Hessiana/concavidade mostra que esse ponto é um máximo (global na reta).
Valor máximo sob a restrição: f(2,2)=-3.
Bom trabalho: apesar do cálculo simples, é importante entender por que a matriz Hessiana negativa garante máximo — essa é a peça que evita dúvidas na prova. Vai dar certo!