Ache o centro da circunferência que passa pelos pontos (1,2) e (2,2) sabendo que o centro está na reta y=x. Resp: (3 / 2,3 / 2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro da circunferência que passa pelos pontos (1,2) e (2,2) sabendo que esse centro está sobre a reta y=x. O conteúdo aqui é usar a propriedade de que o centro de uma circunferência é equidistante de quaisquer dois pontos na circunferência, junto com a restrição geométrica dada pela reta.

Passo 2

Como o centro C está sobre a reta y=x, podemos escrevê-lo como
C = (a,a)
Para ser centro da circunferência que passa por (1,2) e (2,2), precisamos ter
dist(C,(1,2)) = dist(C,(2,2))

Passo 3

Escrevendo a igualdade das distâncias ao quadrado (para evitar raízes), temos
(a-1)^2 + (a-2)^2 ;=;(a-2)^2 + (a-2)^2
Note que aparece (a-2)^2 em ambos os lados, então podemos simplificar:

Passo 4

Cancelando (a-2)^2 e resolvendo,
(a-1)^2 = (a-2)^2 Longrightarrow a-1 = pm,(a-2)
A opção a-1 = a-2 leva a -1=-2, sem solução. Já
a-1 = -(a-2) Longrightarrow a-1 = -a+2 Longrightarrow 2a = 3 Longrightarrow a = tfrac32

Resposta

O centro da circunferência é l(tfrac32,tfrac32r).

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