Ache o raio da superfície esférica que passa pelos pontos A(-2,1, raiz26), B(1,2,-4) e C(2,2,3) e cujo centro está no eixo O z.

Passo 1

O enunciado pede o raio de uma esfera que passe por
A (-2,1,raiz26),
B (1,2,-4) e
C (2,2,3)
e cujo centro está no eixo Oz.
Para tratar centros em Oz podemos usar a forma geral
x^2+y^2+z^2+Fz+G=0,
cujo centro é l(0,0,-tfracF2r) e cujo raio satisfaz que todos os pontos dados zeram a equação.

Passo 2

Impondo que A, B e C verifiquem
x^2+y^2+z^2+Fz+G=0
obtemos o sistema
(-2)^2+1^2+(raiz26)^2 +Fraiz26+G=0, 1^2+2^2+(-4)^2 -4F+G=0, 2^2+2^2+3^2 +3F+G=0
Ou seja,
31 +Fraiz26 +G=0, 21 -4F +G=0, 17 +3F +G=0

Passo 3

Subtraindo a segunda da terceira equação:
(17+3F+G)-(21-4F+G)=0 ;Longrightarrow;-4+7F=0 ;Longrightarrow;F=tfrac47
Em seguida, pela terceira equação,
17 +3cdottfrac47+G=0 ;Longrightarrow; G=-17-tfrac127=-tfrac1317
Agora substituímos em 31+Fraiz26+G=0:
31+tfrac47raiz26-tfrac1317=0 ;Longrightarrow; 31-tfrac1317+tfrac47raiz26=0 ;Longrightarrow; raiz26=-tfrac864,
o que é impossível.

Passo 4

A contradição mostra que não existe solução para F e G.
Logo não há esfera centrada no eixo Oz que passe simultaneamente por A, B e C.

Resposta

Não existe esfera (e portanto não existe raio) com as propriedades dadas.

Exercícios relacionados