Ache o centro de massa de:
Um fio fino e uniforme dobrado na forma de um em que cada seção de reta tem o mesmo comprimento .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centro de massa de um fio fino e uniforme que está dobrado em forma de U, onde cada trecho reto tem o mesmo comprimento . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de geometria e física, especificamente o cálculo do centro de massa para objetos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o U. Imagine que o U é composto por três segmentos de reta: dois lados verticais e a base. Cada um desses segmentos tem comprimento . Como o fio é uniforme, a densidade linear é constante, o que simplifica nosso cálculo.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos determinar as coordenadas . Vamos assumir que a base do U está no eixo x e que o ponto de junção das duas pernas do U está na origem (0,0). Assim, os dois lados verticais vão se estender ao longo do eixo y de 0 a a.
Passo 4
Como o sistema é simétrico em relação ao eixo y, sabemos que a coordenada x do centro de massa será 0. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada y.
Passo 5
Para calcular y, usamos a fórmula do centro de massa para o eixo y:
y = sum (yi cdot Li)sum Li
Onde yi é a coordenada y de cada segmento e Li é o comprimento de cada segmento.
Passo 6
Vamos calcular as contribuições de cada segmento:
A base do U está no eixo x e tem coordenada y = 0, então sua contribuição para y é 0.
Cada um dos dois lados verticais vai de y = 0 a y = a. O centro de massa de cada lado vertical está no meio, ou seja, em y = a2.
Passo 7
Agora, somamos as contribuições:
y = 2 cdot (a2) cdot a2a + a = 2 cdot a^223a = a^23a = a3
Resposta
O centro de massa do fio em forma de U está localizado no ponto (0, a3).