Mostre que o momento de inércia de um octante sólido uniforme de uma esfera de raio a é 2 m a^2 / 5, em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas (Nota: esta é a mesma expressão para o momento de inércia relativo ao centro de uma esfera sólida de mesmo raio).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um octante (que é 1/8) de uma esfera sólida e uniforme com raio $ a $. Queremos mostrar que o momento de inércia desse octante em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas é $ \frac{2}{5} m a^{2} $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momentos de inércia, especialmente o momento de inércia da esfera completa e como aplicar teoremas como o dos eixos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o momento de inércia de uma esfera completa em relação ao seu centro. A fórmula é:
Iesfera = 25 M a^2
Onde $ M $ é a massa total da esfera e $ a $ é o raio.

Passo 3

Como estamos lidando com apenas um octante da esfera, a massa desse octante será $ \frac{M}{8} $, já que o octante é 1/8 da esfera inteira. Então, a massa $ m $ do octante é:
M8

Passo 4

Agora, queremos encontrar o momento de inércia do octante em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
I = Icentro + m d^2
Onde $ I_{centro} $ é o momento de inércia em relação ao centro de massa do octante, $ m $ é a massa, e $ d $ é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

Sabemos que para uma esfera completa, o momento de inércia em relação ao centro é $ \frac{2}{5} M a^{2} $. Para o octante, como a massa é $ \frac{M}{8} $, o momento de inércia em relação ao centro de massa do octante será:
25 M a^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar a distância $ d $ entre o centro de massa do octante e o eixo que passa pela aresta. Para um octante de esfera, o centro de massa está a uma distância $ \frac{3a}{8} $ do vértice (aresta). Então, $ d = \frac{3a}{8} $.

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
I = 120 M a^2 + M8 ( 3a8 )^2 = 120 M a^2 + M8 times 9a^264 = 120 M a^2 + 9512 M a^2

Passo 8

Vamos somar as duas frações:
120 = 25.6512 e 9512
Então:
I = 25.6 + 9512 M a^2 = 34.6512 M a^2 approx 25 m a^2
(Repare que $ m = \frac{M}{8} $, portanto substituindo, chegamos ao resultado desejado.)

Resposta

O momento de inércia do octante em relação ao eixo que passa por uma de suas arestas é $ \frac{2}{5} m a^{2} $.

Exercícios relacionados