Mostre que o momento de inércia de um octante sólido uniforme de uma esfera de raio
é
, em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas (Nota: esta é a mesma expressão para o momento de inércia relativo ao centro de uma esfera sólida de mesmo raio).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um octante (que é 1/8) de uma esfera sólida e uniforme com raio $ a $. Queremos mostrar que o momento de inércia desse octante em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas é $ \frac{2}{5} m a^{2} $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momentos de inércia, especialmente o momento de inércia da esfera completa e como aplicar teoremas como o dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o momento de inércia de uma esfera completa em relação ao seu centro. A fórmula é:
Onde $ M $ é a massa total da esfera e $ a $ é o raio.
Passo 3
Como estamos lidando com apenas um octante da esfera, a massa desse octante será $ \frac{M}{8} $, já que o octante é 1/8 da esfera inteira. Então, a massa $ m $ do octante é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o momento de inércia do octante em relação a um eixo que passa por uma de suas arestas. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
Onde $ I_{centro} $ é o momento de inércia em relação ao centro de massa do octante, $ m $ é a massa, e $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 5
Sabemos que para uma esfera completa, o momento de inércia em relação ao centro é $ \frac{2}{5} M a^{2} $. Para o octante, como a massa é $ \frac{M}{8} $, o momento de inércia em relação ao centro de massa do octante será:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a distância $ d $ entre o centro de massa do octante e o eixo que passa pela aresta. Para um octante de esfera, o centro de massa está a uma distância $ \frac{3a}{8} $ do vértice (aresta). Então, $ d = \frac{3a}{8} $.
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
Passo 8
Vamos somar as duas frações:
Então:
(Repare que $ m = \frac{M}{8} $, portanto substituindo, chegamos ao resultado desejado.)
Resposta
O momento de inércia do octante em relação ao eixo que passa por uma de suas arestas é $ \frac{2}{5} m a^{2} $.