Um cilindro reto circular uniforme de raio
é equilibrado em cima de um cilindro áspero e fixo de raio
, os eixos dos dois cilindros são paralelos. Se o equilíbrio é levemente perturbado, encontre o ponto em que o cilindro móvel perde o contato com o fixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois cilindros: um menor de raio $ a $ que está equilibrado em cima de um cilindro maior e fixo de raio $ b $ (sendo $ b > a $). Os eixos dos cilindros são paralelos. Queremos descobrir em que ponto o cilindro móvel vai perder o contato com o fixo se a gente der uma balançada nele. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de estática e geometria, além de usar algumas fórmulas básicas de equilíbrio de corpos rígidos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: o cilindro menor está apoiado no cilindro maior sem escorregar. Quando perturbamos o equilíbrio, o cilindro menor vai começar a subir um pouco na parede do cilindro maior até chegar a um ponto onde não consegue mais se manter e cai. Nosso objetivo é encontrar exatamente onde isso acontece.
Passo 3
Para achar esse ponto, vamos pensar no centro de massa do cilindro menor. Quando ele está em equilíbrio, o centro de massa está diretamente acima do ponto de contato com o cilindro maior. Ao inclinar, esse centro se moverá, e em algum momento, a força normal que mantém o cilindro menor no cilindro maior será zero.
Passo 4
Vamos relacionar os raios dos cilindros com a geometria do problema. Quando o cilindro menor está no ponto crítico, formando um triângulo com os centros dos dois cilindros e o ponto de contato. Podemos usar trigonometria para achar o ângulo correspondente a esse ponto.
Passo 5
Chamemos esse ângulo de $ \theta $. No ponto de perda de contato, a força centrípeta necessária para manter o cilindro menor na trajetória é fornecida apenas pela componente da força gravitacional. Isso nos dá uma relação que podemos resolver para $ \theta $.
Passo 6
A condição de equilíbrio nos diz que:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ v $ é a velocidade do cilindro menor. Porém, como estamos considerando um equilíbrio perturbado levemente, podemos simplificar essa relação para:
Passo 7
Resolvendo para $ \theta $, temos:
Esse é o ângulo no qual o cilindro menor perde o contato com o maior.
Resposta
O cilindro móvel perde o contato com o cilindro fixo quando o ângulo $ \theta $ satisfaz: