Ache o centro de massa de:
O volume limitado pelo parabolóide de revolução z=a(x^2+y^2) e o plano z=b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa do volume que está limitado pelo paraboloide de revolução $ z = a(x^{2} + y^{2}) $ e o plano $ z = b $. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integração para volumes e cálculo de centro de massa. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que estamos lidando com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Ele é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para encontrar as coordenadas do centro de massa (x, y, z), usamos as fórmulas:
x = 1V integral triplalimitsV x , dV, y = 1V integral triplalimitsV y , dV, z = 1V integral triplalimitsV z , dV
Onde $ V $ é o volume total.

Passo 3

Observando a simetria do problema, vemos que o volume é simétrico em relação aos eixos $ x $ e $ y $. Isso significa que as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ serão iguais a zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto, só precisamos calcular $ \overline{z} $.

Passo 4

Para calcular $ \overline{z} $, precisamos encontrar o volume $ V $ e a integral de $ z $ sobre o volume. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. Nesse sistema, o elemento de volume $ dV = r , dr , d\theta , dz $.

Passo 5

Primeiro, determinamos os limites das integrais. O paraboloide $ z = a r^{2} $ intersecta o plano $ z = b $ quando $ a r^{2} = b $, ou seja, $ r = \sqrt{\frac{b}{a}} $. Então, $ r $ varia de 0 a $ \sqrt{\frac{b}{a}} $, $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $, e $ z $ de $ a r^{2} $ a $ b $.

Passo 6

Vamos calcular o volume $ V $:
V
Primeiro, integraremos em $ z $:
V = integral0^2pi integral0^raizba integrala r^2^b r , dz , dr , dtheta
Então, o volume fica:
z

Passo 7

Vamos integrar em $ r $:
r
Substituindo os limites:
integral0^raizba r (b - a r^2) , dr = integral0^raizba (b r - a r^3) , dr = [ b r^22 - a r^44 ]0^raizba

Passo 8

Agora, integramos em $ \theta $:
theta

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de $ z $ sobre o volume:
z
Primeiro, integramos em $ z $:
integral triplalimitsV z , dV = integral0^2pi integral0^raizba integrala r^2^b z cdot r , dz , dr , dtheta
Então, a integral fica:
z

Passo 10

Integrando em $ r $:
r
Substituindo os limites:
integral0^raizba ( b^22 r - a^2 r^52 ) dr = b^24 r^2 - a^212 r^6 g|0^raizba

Passo 11

Integrando em $ \theta $:
theta

Passo 12

Agora, podemos encontrar $ \overline{z} $:
z

Resposta

O centro de massa do volume é $ \left(0, 0, \frac{2b}{3}\right) $.

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