Ache o centro de massa de:
O volume limitado pelo parabolóide de revolução
e o plano
.
O volume limitado pelo parabolóide de revolução
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa do volume que está limitado pelo paraboloide de revolução $ z = a(x^{2} + y^{2}) $ e o plano $ z = b $. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integração para volumes e cálculo de centro de massa. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que estamos lidando com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Ele é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para encontrar as coordenadas do centro de massa
, usamos as fórmulas:
Onde $ V $ é o volume total.
Passo 3
Observando a simetria do problema, vemos que o volume é simétrico em relação aos eixos $ x $ e $ y $. Isso significa que as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ serão iguais a zero, pois as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto, só precisamos calcular $ \overline{z} $.
Passo 4
Para calcular $ \overline{z} $, precisamos encontrar o volume $ V $ e a integral de $ z $ sobre o volume. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. Nesse sistema, o elemento de volume $ dV = r , dr , d\theta , dz $.
Passo 5
Primeiro, determinamos os limites das integrais. O paraboloide $ z = a r^{2} $ intersecta o plano $ z = b $ quando $ a r^{2} = b $, ou seja, $ r = \sqrt{\frac{b}{a}} $. Então, $ r $ varia de 0 a $ \sqrt{\frac{b}{a}} $, $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $, e $ z $ de $ a r^{2} $ a $ b $.
Passo 6
Vamos calcular o volume $ V $:
Primeiro, integraremos em $ z $:
Então, o volume fica:
Passo 7
Vamos integrar em $ r $:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, integramos em $ \theta $:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral de $ z $ sobre o volume:
Primeiro, integramos em $ z $:
Então, a integral fica:
Passo 10
Integrando em $ r $:
Substituindo os limites:
Passo 11
Integrando em $ \theta $:
Passo 12
Agora, podemos encontrar $ \overline{z} $:
Resposta
O centro de massa do volume é $ \left(0, 0, \frac{2b}{3}\right) $.