Uma barra comprida e uniforme de comprimento
está parada na vertical, sobre um assoalho áspero. A barra é ligeiramente perturbada e cai ao chão.
(a) Encontre as componentes vertical e horizontal da reação do piso como função do ângulo
entre a barra e a vertical em um instante qualquer.
(a) Encontre as componentes vertical e horizontal da reação do piso como função do ângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma barra uniforme de comprimento $ l $ que está na vertical sobre um chão áspero. Quando a barra é ligeiramente empurrada, ela começa a cair, formando um ângulo $ \theta $ com a vertical. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes vertical e horizontal da reação do piso (que chamaremos de $ R_v $ e $ R_h $) em função desse ângulo $ \theta $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre dinâmica de corpos rígidos e equilíbrio de forças e torques. Vamos analisar as forças que atuam na barra e usar as equações de equilíbrio para encontrar $ R_v $ e $ R_h $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na barra:
- Peso ($ P $): A força peso da barra age no centro de massa, que, para uma barra uniforme, está no seu meio, ou seja, a uma distância $ \frac{l}{2} $ da base.
- Reações do piso:
- Componente vertical ($ R_v $): A força que o piso exerce para cima, equilibrando o peso.
- Componente horizontal ($ R_h $): A força que o piso exerce horizontalmente, que pode causar rotação na barra.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de corpo livre da barra para visualizar melhor as forças. A barra está inclinada formando um ângulo $ \theta $ com a vertical. O peso $ P = mg $ atua para baixo no centro da barra, $ R_v $ atua para cima na base, e $ R_h $ atua horizontalmente na base.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as equações de equilíbrio. Mesmo que a barra esteja acelerando angularmente, podemos considerar as forças verticais e horizontais para encontrar $ R_v $ e $ R_h $.
Equilíbrio na direção vertical:
Isso ocorre porque a única força vertical além de $ R_v $ é o peso $ P $, e para equilibrar, elas devem ser iguais e opostas.
Passo 5
Para encontrar a componente horizontal $ R_h $, vamos considerar o torque (momento das forças) em relação à base da barra. O torque causado pelo peso $ P $ fará a barra girar.
A fórmula do torque ($ \tau $) é:
onde:
- $ r $ é a distância até o ponto de aplicação da força,
- $ F $ é a força,
- $ \alpha $ é o ângulo entre $ r $ e $ F $.
No nosso caso, o torque devido ao peso é:
Já o torque devido à força horizontal $ R_h $ é:
Passo 6
Para que a barra esteja em equilíbrio rotacional naquele instante (mesmo que esteja acelerando), o torque total deve igualar a inércia rotacional. Porém, como queremos apenas as reações do piso em função de $ \theta $, podemos igualar os torques:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para encontrar $ R_h $:
Podemos cancelar o $ l $ dos dois lados:
Isolando $ R_h $:
Resposta
As componentes da reação do piso são:
e