Um pêndulo balístico é feito de uma prancha comprida de comprimento
e massa
. Ele se encontra livre para oscilar em torno de um extremo
, e está inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de massa
é disparada horizontalmente atingindo o pêndulo à distância
do ponto
vindo a se alojar no pêndulo. Se a amplitude da oscilação é
, encontre a velocidade da bala.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Estamos falando de um pêndulo balístico, que envolve conceitos de conservação de quantidade de movimento e energia. Precisamos encontrar a velocidade da bala que atingiu o pêndulo, usando o comprimento do pêndulo (
), as massas envolvidas (
e
) e a amplitude da oscilação (
).
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no momento em que a bala atinge o pêndulo. Como a bala se aloja no pêndulo, temos uma colisão inelástica. Nessa situação, usamos a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento após a colisão.
A quantidade de movimento é dada por:
onde
é a massa e
é a velocidade.
Passo 3
Então, antes da colisão, temos apenas a bala em movimento:
Depois da colisão, a massa combinada (pêndulo + bala) está se movendo com uma velocidade comum
:
Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:
Podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos conectar isso com a conservação de energia. Após a colisão, o sistema pêndulo-bala sobe até atingir a amplitude
. A energia cinética do sistema imediatamente após a colisão se transforma em energia potencial na altura máxima.
A energia cinética após a colisão é:
A energia potencial na altura máxima é:
Aqui,
é a altura alcançada pelo pêndulo, que pode ser relacionada ao ângulo
e ao comprimento
:
Pelo princípio da conservação de energia:
Podemos simplificar cancelando
:
E resolver para
:
Passo 5
Agora, substituímos
da Passo 3 na equação acima para encontrar a velocidade da bala
:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade da bala é dada por: