Um pêndulo balístico é feito de uma prancha comprida de comprimento l e massa m. Ele se encontra livre para oscilar em torno de um extremo O, e está inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de massa m^prime é disparada horizontalmente atingindo o pêndulo à distância l do ponto O vindo a se alojar no pêndulo. Se a amplitude da oscilação é theta0, encontre a velocidade da bala.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Estamos falando de um pêndulo balístico, que envolve conceitos de conservação de quantidade de movimento e energia. Precisamos encontrar a velocidade da bala que atingiu o pêndulo, usando o comprimento do pêndulo ( l), as massas envolvidas ( m e m') e a amplitude da oscilação ( theta0).

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no momento em que a bala atinge o pêndulo. Como a bala se aloja no pêndulo, temos uma colisão inelástica. Nessa situação, usamos a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento após a colisão.
A quantidade de movimento é dada por:
p = mv
onde m é a massa e v é a velocidade.

Passo 3

Então, antes da colisão, temos apenas a bala em movimento:
pantes = m' cdot v
Depois da colisão, a massa combinada (pêndulo + bala) está se movendo com uma velocidade comum v':
pdepois = (m + m') cdot v'
Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:
m' cdot v = (m + m') cdot v'
Podemos resolver para v':
v' = m'm + m' cdot v

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com a conservação de energia. Após a colisão, o sistema pêndulo-bala sobe até atingir a amplitude theta0. A energia cinética do sistema imediatamente após a colisão se transforma em energia potencial na altura máxima.
A energia cinética após a colisão é:
Ecinética = 12 (m + m') v'^2 é
A energia potencial na altura máxima é:
Epotencial = (m + m') g h
Aqui, h é a altura alcançada pelo pêndulo, que pode ser relacionada ao ângulo theta0 e ao comprimento l:
h = l (1 - cos theta0)
Pelo princípio da conservação de energia:
12 (m + m') v'^2 = (m + m') g l (1 - cos theta0)
Podemos simplificar cancelando (m + m'):
12 v'^2 = g l (1 - cos theta0)
E resolver para v':
v' = raiz2 g l (1 - cos theta0)

Passo 5

Agora, substituímos v' da Passo 3 na equação acima para encontrar a velocidade da bala v:
raiz2 g l (1 - cos theta0) = m'm + m' cdot v
Resolvendo para v:
v = m + m'm' cdot raiz2 g l (1 - cos theta0)

Resposta

A velocidade da bala é dada por:
v = m + m'm' cdot raiz2 g l (1 - cos theta0)

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