Mostre que o centro de oscilação de um pêndulo físico é tambem o centro de percussão para um impulso aplicado no eixo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o centro de oscilação de um pêndulo físico também é o centro de percussão quando aplicamos um impulso no eixo de rotação. Basicamente, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos de rotação e como determinados pontos em um pêndulo se comportam quando aplicamos forças.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia, frequência angular e leis do movimento rotacional. Não se preocupa, vou explicar cada passo de forma simples!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um pêndulo físico. Diferente do pêndulo simples (que é uma massa pontual presa por uma corda), o pêndulo físico tem uma distribuição de massa ao redor do ponto de rotação. Isso significa que diferentes partes do pêndulo estão a diferentes distâncias do ponto de apoio.
O momento de inércia $ I $ é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto começar a girar.
Passo 3
Agora, o centro de oscilação é um ponto específico no pêndulo físico onde, se você substituir todo o pêndulo por uma massa pontual nesse ponto, o movimento de oscilação seria o mesmo. A posição desse centro de oscilação $ s $ é dada por:
onde:
- $ I $ é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de rotação,
- $ m $ é a massa total do pêndulo,
- $ r $ é a distância entre o centro de massa do pêndulo e o ponto de rotação.
Passo 4
O centro de percussão é o ponto onde, se você bater ou aplicar um impulso vertical, não haverá reação no ponto de apoio (ou eixo de rotação). Isso significa que a força aplicada nesse ponto não faz o pêndulo oscilar involuntariamente devido a essa reação.
A posição do centro de percussão $ p $ está relacionada ao centro de massa e ao momento de inércia. A fórmula é:
Passo 5
Observando as duas fórmulas que encontramos:
Vemos que o centro de oscilação $ s $ e o centro de percussão $ p $ têm a mesma expressão matemática. Ou seja, eles ocupam o mesmo ponto no pêndulo físico.
Resposta
Portanto, demonstramos que o centro de oscilação de um pêndulo físico é igual ao centro de percussão para um impulso aplicado no eixo de rotação.