Ache o centroide das áreas limitadas pelas seguintes curvas.
e
Passo 1
O enunciado pede o centróide da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2x+3. O conteúdo aqui é centróide de área entre duas funções no plano. Vamos usar as fórmulas
e
onde A é a área entre as curvas de x=a até x=b.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
ou seja
daí x=3 e x=-1, então a região vai de a=-1 até b=3.
Passo 3
Agora calculamos a área
[
A=\int_{-1}{3}\bigl[(2x+3)-x{2}\bigr],dx
=\Bigl[-\tfrac{x{3}}{3}+x{2}+3x\Bigr]_{-1}^{3}
=\Bigl(9-\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)\Bigr)=\tfrac{32}{3}.
A=\int_{-1}{3}\bigl[(2x+3)-x{2}\bigr],dx
=\Bigl[-\tfrac{x{3}}{3}+x{2}+3x\Bigr]_{-1}^{3}
=\Bigl(9-\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)\Bigr)=\tfrac{32}{3}.
Passo 4
Em seguida, calculamos
[
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{-1}{3}x\bigl[(2x+3)-x{2}\bigr],dx
=\frac{1}{\tfrac{32}{3}}\Bigl[\tfrac{2x{3}}{3}+\tfrac{3x{2}}{2}-\tfrac{x{4}}{4}\Bigr]_{-1}{3}
=1.
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{-1}{3}x\bigl[(2x+3)-x{2}\bigr],dx
=\frac{1}{\tfrac{32}{3}}\Bigl[\tfrac{2x{3}}{3}+\tfrac{3x{2}}{2}-\tfrac{x{4}}{4}\Bigr]_{-1}{3}
=1.
Passo 5
Por fim, para
:
[
\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{-1}{3}\bigl[(2x+3){2}-x^{4}\bigr],dx
=\frac{1}{2\cdot \tfrac{32}{3}}\Bigl[-\tfrac{x{5}}{5}+\tfrac{4x{3}}{3}+6x{2}+9x\Bigr]_{-1}{3}
=\frac{17}{5}.
\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{-1}{3}\bigl[(2x+3){2}-x^{4}\bigr],dx
=\frac{1}{2\cdot \tfrac{32}{3}}\Bigl[-\tfrac{x{5}}{5}+\tfrac{4x{3}}{3}+6x{2}+9x\Bigr]_{-1}{3}
=\frac{17}{5}.
Resposta
(1,;17/5)