Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja f: R R função contínua, então existe seu limite no infinito.

Passo 1

A questão afirma que, para toda função contínua f:RtoR, existe o limite limxtoinftyf(x). Isso envolve o conteúdo de limites de funções no infinito e a noção de existência de um valor finito como limite.

Passo 2

Pela definição de limite no infinito, dizemos que limxtoinftyf(x)=LinR se, para todo varepsilon>0, existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos |f(x)-L|. Ou seja, f(x) deve se aproximar arbitrariamente de um único valor L quando x cresce.

Passo 3

Como contraexemplo, considere f(x)=sin(x). Essa função é contínua em R, mas, conforme xtoinfty, os valores de sin(x) oscilam entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor fixo. Logo, limxtoinftysin(x) não existe, mostrando que a afirmação original é falsa.

Resposta

Falso. Contraexemplo: seja f(x)=sin(x); como sin(x) oscila continuamente entre -1 e 1, não há limite quando xtoinfty.

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