Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja xn sequência tal que lim n infty xn=-3. Existe N in N tal que se n>N então xn<0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência xn com limntoinftyxn=-3 e pergunta se existe NinN tal que, para todo n>N, xn<0. O conteúdo é limites de sequências e o que vamos usar é a definição de limite para obter estimativas sobre xn.

Passo 2

Segundo a definição de limite, para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, sempre que n>N, temos:

Passo 3

Escolhemos varepsilon=3>0. Da convergência limntoinftyxn=-3 segue que existe N tal que, para todo n>N, vale
|xn - (-3)| = |xn + 3| < 3

Passo 4

A partir de |xn +3|<3 obtemos a dupla desigualdade
-3 < xn + 3 < 3 que implica
-6 < xn < 0

Passo 5

Logo, para todo n>N temos xn<0. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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