Ache o comprimento das alturas de um triângulo com vértices (a, 1,0),(0, b, 2),(3,0, c) em função dos parâmetros indicados.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo no espaço tridimensional:
vértice A=(a,1,0);
vértice B=(0,b,2);
vértice C=(3,0,c).
O que se pede: calcular os comprimentos das três alturas do triângulo (a altura de cada vértice até a reta que contém o lado oposto), em função dos parâmetros a,b,c.
Informações relevantes fornecidas:
as coordenadas dos três vértices são as únicas entradas numéricas/paramétricas do problema;
deve-se devolver expressões simbólicas para as alturas em termos de a,b,c.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar geometria vetorial. Explicação didática do método:
Se escolhemos um vértice, por exemplo A, a altura de A relativa ao lado BC tem comprimento
h_A=\frac{2\cdot\text{Área do triângulo }ABC}{|BC|}.
Em coordenadas vetoriais, a área do triângulo ABC é dada por
Aqui \overrightarrow{AB}= vetor de A para B e \overrightarrow{AC}= vetor de A para C. A razão dessa fórmula: \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; o triângulo é metade desse paralelogramo.
Portanto precisamos calcular os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e os comprimentos dos lados AB,AC,BC.
Passo 3
Calcular os vetores a partir das coordenadas (sempre vetor destino menos vetor origem):
Interpretação: cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes dos pontos.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Se \overrightarrow{AB}=(x_1,y_1,z_1) e \overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2), então