Ache o comprimento das alturas de um triângulo com vértices (a, 1,0),(0, b, 2),(3,0, c) em função dos parâmetros indicados.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo no espaço tridimensional:
  • vértice A=(a,1,0);
  • vértice B=(0,b,2);
  • vértice C=(3,0,c).
O que se pede: calcular os comprimentos das três alturas do triângulo (a altura de cada vértice até a reta que contém o lado oposto), em função dos parâmetros a,b,c.
Informações relevantes fornecidas:
  • as coordenadas dos três vértices são as únicas entradas numéricas/paramétricas do problema;
  • deve-se devolver expressões simbólicas para as alturas em termos de a,b,c.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar geometria vetorial. Explicação didática do método:
  • Se escolhemos um vértice, por exemplo A, a altura de A relativa ao lado BC tem comprimento
h_A=\frac{2\cdot\text{Área do triângulo }ABC}{|BC|}.Áâ
  • Em coordenadas vetoriais, a área do triângulo ABC é dada por
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\big\| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.Á
Aqui \overrightarrow{AB}= vetor de A para B e \overrightarrow{AC}= vetor de A para C. A razão dessa fórmula: \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; o triângulo é metade desse paralelogramo.
  • Assim, combinando,
h_A=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{BC}|}.
Análogo para as outras alturas:
h_B=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{AC}|},\qquad h_C=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{AB}|}.
Portanto precisamos calcular os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e os comprimentos dos lados AB,AC,BC.

Passo 3

Calcular os vetores a partir das coordenadas (sempre vetor destino menos vetor origem):
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-a,\;b-1,\;2-0)=(-a,\;b-1,\;2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-a,\;0-1,\;c-0)=(3-a,\;-1,\;c),
\overrightarrow{BC}=C-B=(3-0,\;0-b,\;c-2)=(3,\;-b,\;c-2).
Interpretação: cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes dos pontos.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Se
\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1,z_1) e \overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2), então
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big(y_1 z_2 - z_1 y_2,\; z_1 x_2 - x_1 z_2,\; x_1 y_2 - y_1 x_2\big).
Aqui substituindo x_1=-a,\;y_1=b-1,\;z_1=2 e x_2=3-a,\;y_2=-1,\;z_2=c, obtemos componente a componente:
Primeira componente:
y_1 z_2 - z_1 y_2=(b-1)\,c - 2\cdot(-1)=c(b-1)+2.
Segunda componente:
z_1 x_2 - x_1 z_2 = 2(3-a)-(-a)\,c = 6-2a + a c.
Terceira componente:
x_1 y_2 - y_1 x_2 = (-a)(-1) - (b-1)(3-a) = a - (b-1)(3-a).
Expandindo a última parte para uma forma mais simples:
a - (b-1)(3-a) = a -\big(3b -ab -3 + a\big) = ab -3b +3.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big(cb - c + 2,\; 6-2a + a c,\; ab -3b +3\big).

Passo 5

Calcular a norma (magnitude) do produto vetorial, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|= \sqrt{(cb - c + 2)^2 + (6-2a + a c)^2 + (ab -3b +3)^2 }.
Esta quantidade é igual a duas vezes a área do triângulo ABC.

Passo 6

Calcular os comprimentos dos lados (normas dos vetores diferenciais):
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2 + (-b)^2 + (c-2)^2} =\sqrt{9 + b^2 + (c-2)^2},
|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(3-a)^2 + (-1)^2 + c^2} =\sqrt{(3-a)^2 + 1 + c^2},
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-a)^2 + (b-1)^2 + 2^2} =\sqrt{a^2 + (b-1)^2 + 4}.

Passo 7

Usar as fórmulas das alturas em termos da norma do produto vetorial e dos comprimentos dos lados:
h_A=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{BC}|}, \qquad h_B=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{AC}|}, \qquad h_C=\frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|}{|\overrightarrow{AB}|}.
Substituindo as expressões obtidas para a norma do produto vetorial e para os comprimentos, obtemos as expressões finais abaixo.

Resposta

h_A=\dfrac{\sqrt{(cb - c + 2)^2 + (6-2a + a c)^2 + (ab -3b +3)^2}}{\sqrt{9 + b^2 + (c-2)^2}}
h_B=\dfrac{\sqrt{(cb - c + 2)^2 + (6-2a + a c)^2 + (ab -3b +3)^2}}{\sqrt{(3-a)^2 + 1 + c^2}}
h_C=\dfrac{\sqrt{(cb - c + 2)^2 + (6-2a + a c)^2 + (ab -3b +3)^2}}{\sqrt{a^2 + (b-1)^2 + 4}}

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