Ache a distância entre os planos:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede a distância entre eles. As informações relevantes são:
- Plano
: . - Plano
: . - Pergunta: calcular a distância entre
e .
Passo 2
Identificar os vetores normais a cada plano (peguei os coeficientes das equações dadas):
- Normal de
: . - Normal de
: .
Agora comparar esses vetores para ver se os planos são paralelos. Verificamos que
ou seja, os vetores normais são proporcionais. Conclusão: os planos são paralelos (ou coincidentes). Isso é importante porque só faz sentido falar em “a” distância entre dois planos quando eles são paralelos.
Passo 3
Observação útil: multiplicar ou dividir toda a equação de um plano por uma constante não altera o plano. Dividindo a equação de
por
(peguei esse dado da própria equação),
Agora ambas as equações têm o mesmo vetor normal
, o que facilita os cálculos. Vou chamar a versão simplificada de
:
.
Passo 4
Apresentar a fórmula que vamos usar (e explicar porquê). A distância
entre dois planos paralelos
pode ser obtida a partir da fórmula da distância de um ponto a um plano. A distância do ponto
ao plano
é
Intuição rápida: o numerador é a projeção (valor algébrico) na direção do normal; o denominador é o comprimento do normal, assim essa razão dá a distância ortogonal (comprimento do segmento perpendicular).
Se
pertence ao primeiro plano (
), então ao calcular sua distância ao segundo plano o numerador fica
. Portanto a fórmula geral para a distância entre os dois planos paralelos é
Passo 5
Aplicar a fórmula aos nossos planos (usei as constantes das equações já alinhadas):
- Para
: , , , . - Para
: .
Calcular o denominador (norma do vetor normal):
Calcular o numerador:
Logo a distância é
Passo 6
(Mini verificação alternativa, só para fixar a ideia.) Podemos pegar um ponto qualquer de
(por exemplo escolhi
,
, daí
, ponto
) e calcular sua distância até
usando a fórmula ponto-plano:
confirma o resultado anterior. Isso mostra concretamente como funciona na prova: escolher um ponto do primeiro plano e aplicar a fórmula ponto-plano.