Ache a distância entre os planos:
\Pi_{1}: 3 x-2 y+6 z+8=0 e \Pi_{2}: 6 x-4 y+12 z+12=0.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede a distância entre eles. As informações relevantes são:
  • Plano \Pi_{1}: 3x-2y+6z+8=0.
  • Plano \Pi_{2}: 6x-4y+12z+12=0.
  • Pergunta: calcular a distância entre \Pi_{1} e \Pi_{2}.

Passo 2

Identificar os vetores normais a cada plano (peguei os coeficientes das equações dadas):
  • Normal de \Pi_{1}: \mathbf{n}_1=(3,-2,6).
  • Normal de \Pi_{2}: \mathbf{n}_2=(6,-4,12).
Agora comparar esses vetores para ver se os planos são paralelos. Verificamos que
\mathbf{n}_2=2\mathbf{n}_1,
ou seja, os vetores normais são proporcionais. Conclusão: os planos são paralelos (ou coincidentes). Isso é importante porque só faz sentido falar em “a” distância entre dois planos quando eles são paralelos.

Passo 3

Observação útil: multiplicar ou dividir toda a equação de um plano por uma constante não altera o plano. Dividindo a equação de \Pi_{2} por 2 (peguei esse dado da própria equação),
\Pi_{2}:\quad 6x-4y+12z+12=0 \;\Longrightarrow\; 3x-2y+6z+6=0.
Agora ambas as equações têm o mesmo vetor normal (3,-2,6), o que facilita os cálculos. Vou chamar a versão simplificada de \Pi_{2}': 3x-2y+6z+6=0.

Passo 4

Apresentar a fórmula que vamos usar (e explicar porquê). A distância D entre dois planos paralelos
ax+by+cz+d_1=0 \quad\text{e}\quad ax+by+cz+d_2=0
pode ser obtida a partir da fórmula da distância de um ponto a um plano. A distância do ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Intuição rápida: o numerador é a projeção (valor algébrico) na direção do normal; o denominador é o comprimento do normal, assim essa razão dá a distância ortogonal (comprimento do segmento perpendicular).
Se (x_0,y_0,z_0) pertence ao primeiro plano ( ax_0+by_0+cz_0+d_1=0), então ao calcular sua distância ao segundo plano o numerador fica |ax_0+by_0+cz_0+d_2|=|d_2-d_1|. Portanto a fórmula geral para a distância entre os dois planos paralelos é
D=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos nossos planos (usei as constantes das equações já alinhadas):
  • Para \Pi_{1}: a=3, b=-2, c=6, d_1=8.
  • Para \Pi_{2}': d_2=6.
Calcular o denominador (norma do vetor normal):
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7.
Calcular o numerador:
|d_2-d_1|=|6-8|=2.
Logo a distância é
D=\frac{2}{7}.

Passo 6

(Mini verificação alternativa, só para fixar a ideia.) Podemos pegar um ponto qualquer de \Pi_{1} (por exemplo escolhi y=0, z=0, daí 3x+8=0\Rightarrow x=-\tfrac{8}{3}, ponto (-\,\tfrac{8}{3},0,0)) e calcular sua distância até \Pi_{2}' usando a fórmula ponto-plano:
\frac{\bigl|3\cdot(-\tfrac{8}{3})-2\cdot0+6\cdot0+6\bigr|}{7}=\frac{|-8+6|}{7}=\frac{2}{7},
confirma o resultado anterior. Isso mostra concretamente como funciona na prova: escolher um ponto do primeiro plano e aplicar a fórmula ponto-plano.

Resposta

\dfrac{2}{7}

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