Determine o lugar geométrico dos pontos que, estando no plano
, ficam a distância 3 da origem.
Passo 1
O enunciado dá duas condições que os pontos
do plano devem satisfazer:
- Estar no plano
. - Ficar a distância
da origem.
O que a pergunta pede: determinar o lugar geométrico desses pontos — isto é, descrever geometricamente e por fórmulas o conjunto de todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação do plano:
. - Distância fixa da origem:
.
Passo 2
Transformar a condição “distância
da origem” em uma equação conhecida: os pontos a distância
da origem são exatamente os pontos da esfera de centro na origem e raio
. A equação dessa esfera é
Portanto o lugar procurado é a interseção entre a esfera
e o plano
Vamos estudar se essa interseção existe e qual sua forma (ponto, círculo, vazia).
Passo 3
Para decidir se o plano corta a esfera e qual a figura obtida, calcule a distância do centro da esfera (a origem) ao plano. Seja
o vetor normal do plano e escrevamos o plano na forma
(produto interno). A distância da origem ao plano é dada por
Explicando a fórmula: para a reta geral
a distância do ponto
ao plano é
; aqui
.
Comparando com o raio da esfera
: temos
logo o plano corta a esfera em uma circunferência (uma seção circular) — não é vazio nem um ponto isolado.
Passo 4
Encontrar o centro
da circunferência (que é a projeção ortogonal da origem sobre o plano). Para o plano
, a projeção da origem sobre o plano é um múltiplo do vetor normal
. Procura-se
tal que
satisfaça
. Assim
Portanto o centro da circunferência é
Verificação rápida:
satisfaz o plano porque
.
Passo 5
Calcular o raio
da circunferência: formamos o triângulo retângulo com vértices
(origem),
(projeção) e
(um ponto qualquer da interseção). A hipotenusa é
que vale
(raio da esfera) e um cateto é
. Então, pelo teorema de Pitágoras,
Logo
Podemos também dar uma aproximação numérica:
.
Passo 6
Resumo geométrico e uma forma paramétrica útil (opcional, mas prática): o lugar é a circunferência dada por
ou, de maneira mais construtiva, é a circunferência de centro
e raio
Uma parametrização possível (constituindo um sistema ortonormal no plano) é a seguinte: escolha um vetor no plano, por exemplo
(verifica
), e um segundo vetor perpendicular a ambos
e
através do produto vetorial
. Normalizando,
Então uma parametrização da circunferência é
Isto descreve todos os pontos da interseção.
Resposta
A interseção entre o plano
e a esfera
, que é uma circunferência de centro
e raio
.