Determine o lugar geométrico dos pontos que, estando no plano x+2 y+3 z=5, ficam a distância 3 da origem.

Passo 1

O enunciado dá duas condições que os pontos P=(x,y,z) do plano devem satisfazer:
  • Estar no plano \,x+2y+3z=5\,.
  • Ficar a distância 3 da origem.
O que a pergunta pede: determinar o lugar geométrico desses pontos — isto é, descrever geometricamente e por fórmulas o conjunto de todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação do plano: \,x+2y+3z=5.
  • Distância fixa da origem: 3.

Passo 2

Transformar a condição “distância 3 da origem” em uma equação conhecida: os pontos a distância 3 da origem são exatamente os pontos da esfera de centro na origem e raio 3. A equação dessa esfera é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3^{2}=9.
Portanto o lugar procurado é a interseção entre a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
e o plano
x+2y+3z=5.
Vamos estudar se essa interseção existe e qual sua forma (ponto, círculo, vazia).

Passo 3

Para decidir se o plano corta a esfera e qual a figura obtida, calcule a distância do centro da esfera (a origem) ao plano. Seja n=(1,2,3) o vetor normal do plano e escrevamos o plano na forma \, \langle n,(x,y,z)\rangle =5 (produto interno). A distância da origem ao plano é dada por
\text{dist}(O,\text{plano})=\frac{|0\cdot1+0\cdot2+0\cdot3-5|}{\|n\|}=\frac{| -5 |}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{14}}.
Explicando a fórmula: para a reta geral ax+by+cz=d a distância do ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) ao plano é \dfrac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}; aqui x_{0}=y_{0}=z_{0}=0.
Comparando com o raio da esfera \,3: temos
\frac{5}{\sqrt{14}} \approx 1,336\ldots < 3,
logo o plano corta a esfera em uma circunferência (uma seção circular) — não é vazio nem um ponto isolado.

Passo 4

Encontrar o centro C da circunferência (que é a projeção ortogonal da origem sobre o plano). Para o plano \langle n,(x,y,z)\rangle =5, a projeção da origem sobre o plano é um múltiplo do vetor normal n. Procura-se t tal que t n satisfaça \langle n,t n\rangle =5. Assim
t\|n\|^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{5}{\|n\|^{2}}=\frac{5}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\frac{5}{14}.
Portanto o centro da circunferência é
C = t n = \frac{5}{14}(1,2,3)=\left(\frac{5}{14},\frac{5}{7},\frac{15}{14}\right).
Verificação rápida: C satisfaz o plano porque \,1\cdot\frac{5}{14}+2\cdot\frac{5}{7}+3\cdot\frac{15}{14}=\frac{5}{14}+\frac{10}{7}+\frac{45}{14}=\frac{5+20+45}{14}=\frac{70}{14}=5.

Passo 5

Calcular o raio r da circunferência: formamos o triângulo retângulo com vértices O (origem), C (projeção) e P (um ponto qualquer da interseção). A hipotenusa é OP que vale 3 (raio da esfera) e um cateto é OC=\dfrac{5}{\sqrt{14}}. Então, pelo teorema de Pitágoras,
r^{2}=OP^{2}-OC^{2}=3^{2}-\left(\frac{5}{\sqrt{14}}\right)^{2}=9-\frac{25}{14}=\frac{126-25}{14}=\frac{101}{14}.
Logo
r=\sqrt{\frac{101}{14}}.
Podemos também dar uma aproximação numérica: \,r\approx\sqrt{7,2142857\ldots}\approx2,686\ldots.

Passo 6

Resumo geométrico e uma forma paramétrica útil (opcional, mas prática): o lugar é a circunferência dada por
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+2y+3z=5,\; x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\},
ou, de maneira mais construtiva, é a circunferência de centro
C=\left(\frac{5}{14},\frac{5}{7},\frac{15}{14}\right)
e raio
r=\sqrt{\frac{101}{14}}.
Uma parametrização possível (constituindo um sistema ortonormal no plano) é a seguinte: escolha um vetor no plano, por exemplo v_{1}=(2,-1,0) (verifica \langle n,v_{1}\rangle=0), e um segundo vetor perpendicular a ambos n e v_{1} através do produto vetorial v_{2}=n\times v_{1}=(3,6,-5). Normalizando,
u_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1,0),\qquad u_{2}=\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|}=\frac{1}{\sqrt{70}}(3,6,-5).
Então uma parametrização da circunferência é
\gamma(t)=C + r\big(\cos t\,u_{1}+\sin t\,u_{2}\big),\qquad t\in[0,2\pi).
Isto descreve todos os pontos da interseção.

Resposta

A interseção entre o plano x+2y+3z=5 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, que é uma circunferência de centro C=\left(\dfrac{5}{14},\dfrac{5}{7},\dfrac{15}{14}\right) e raio r=\sqrt{\dfrac{101}{14}}.

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