Verifique as seguintes formulas:
(b) a Identidade de Jacobi:
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}+(\vec{b} \times \vec{c}) \times \vec{a}+(\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b}=\overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado pede para verificar (mostrar que é verdadeira) a seguinte identidade vetorial para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3:
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=\overrightarrow{0}.
Informações dadas:
  • \vec{a},\vec{b},\vec{c} são vetores arbitrários em \mathbb{R}^3.
  • É preciso mostrar que a soma dos três vetores do lado esquerdo é o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro vamos usar uma identidade muito útil (a chamada identidade do produto vetorial duplo, ou “BAC–CAB”):
(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{v}(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{u}(\vec{v}\cdot\vec{w}),
válida para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3.
Explicando o que isso significa: o produto vetorial duplo (\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w} fica no plano gerado por \vec{u} e \vec{v}, portanto pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores; a identidade dá explicitamente os coeficientes dessa combinação em termos de produtos escalares ( \cdot). Aqui \vec{v}(\vec{u}\cdot\vec{w}) significa multiplicar o escalar (\vec{u}\cdot\vec{w}) pelo vetor \vec{v}.
Vou justificar rapidamente a identidade (uma prova curta, sem pular etapas): considere \vec{x}=(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}. Como \vec{x} é ortogonal a \vec{u}\times\vec{v}, \vec{x} pertence ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}; assim existem escalares \alpha,\beta tais que
\vec{x}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}.
Fazendo produto escalar com \vec{u} e com \vec{v} obtemos um sistema para \alpha,\beta. Usando as identidades
(\vec{p}\times\vec{q})\cdot(\vec{r}\times\vec{s})=(\vec{p}\cdot\vec{r})(\vec{q}\cdot\vec{s})-(\vec{p}\cdot\vec{s})(\vec{q}\cdot\vec{r})
e (\vec{p}\times\vec{q})\cdot\vec{r}=\vec{p}\cdot(\vec{q}\times\vec{r}) (essas duas podem ser provadas por componentes, se precisar), resolve-se o sistema e encontra-se
\alpha=-(\vec{v}\cdot\vec{w}),\qquad \beta=(\vec{u}\cdot\vec{w}),
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\vec{x}=(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\vec{v}(\vec{u}\cdot\vec{w})-\vec{u}(\vec{v}\cdot\vec{w}),
como anunciado.

Passo 3

Agora aplicamos essa identidade aos três termos do enunciado. Usando a forma com \vec{u}=\vec{a}, \vec{v}=\vec{b}, \vec{w}=\vec{c} obtemos:
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c}).
Analogamente,
(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}=\vec{c}(\vec{b}\cdot\vec{a})-\vec{b}(\vec{c}\cdot\vec{a}),
(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=\vec{a}(\vec{c}\cdot\vec{b})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 4

Somando os três resultados:
\begin{aligned} &(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b} \\\ &\quad= \big[\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})\big] +\big[\vec{c}(\vec{b}\cdot\vec{a})-\vec{b}(\vec{c}\cdot\vec{a})\big] +\big[\vec{a}(\vec{c}\cdot\vec{b})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})\big]. \end{aligned}
Repare que os produtos escalares são simétricos, isto é \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}, \vec{c}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{c}, etc. Agrupando os coeficientes de \vec{a},\vec{b},\vec{c} temos:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }\vec{a}:&\quad -(\vec{b}\cdot\vec{c})+(\vec{c}\cdot\vec{b})=0,\\\ \text{coeficiente de }\vec{b}:&\quad (\vec{a}\cdot\vec{c})-(\vec{c}\cdot\vec{a})=0,\\\ \text{coeficiente de }\vec{c}:&\quad (\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{a}\cdot\vec{b})=0. \end{aligned}
Cada coeficiente é zero porque os produtos escalares são simétricos. Portanto a soma inteira é o vetor nulo.

Passo 5

Concluímos que, para quaisquer \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=\overrightarrow{0}.
Esta é exatamente a Identidade de Jacobi para o produto vetorial (a soma cíclica dos produtos vetoriais duplos é nula).

Resposta

\overrightarrow{0}

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