Verifique as seguintes formulas:
(b) a Identidade de Jacobi:
(b) a Identidade de Jacobi:
Passo 1
O enunciado pede para verificar (mostrar que é verdadeira) a seguinte identidade vetorial para quaisquer vetores
em
:
Informações dadas:
-
são vetores arbitrários em . - É preciso mostrar que a soma dos três vetores do lado esquerdo é o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro vamos usar uma identidade muito útil (a chamada identidade do produto vetorial duplo, ou “BAC–CAB”):
válida para quaisquer vetores
em
.
Explicando o que isso significa: o produto vetorial duplo fica no plano gerado por
e
, portanto pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores; a identidade dá explicitamente os coeficientes dessa combinação em termos de produtos escalares (
). Aqui
significa multiplicar o escalar
pelo vetor
.
Explicando o que isso significa: o produto vetorial duplo
Vou justificar rapidamente a identidade (uma prova curta, sem pular etapas): considere
. Como
é ortogonal a
,
pertence ao plano gerado por
e
; assim existem escalares
tais que
Fazendo produto escalar com
e com
obtemos um sistema para
. Usando as identidades
e
(essas duas podem ser provadas por componentes, se precisar), resolve-se o sistema e encontra-se
logo
como anunciado.
Passo 3
Agora aplicamos essa identidade aos três termos do enunciado. Usando a forma com
,
,
obtemos:
Analogamente,
Passo 4
Somando os três resultados:
Repare que os produtos escalares são simétricos, isto é
,
, etc. Agrupando os coeficientes de
temos:
Cada coeficiente é zero porque os produtos escalares são simétricos. Portanto a soma inteira é o vetor nulo.
Passo 5
Concluímos que, para quaisquer
,
Esta é exatamente a Identidade de Jacobi para o produto vetorial (a soma cíclica dos produtos vetoriais duplos é nula).