Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=l(tfracx2r)^3/2 para 0<= x<=2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma função y(x), e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'r)^2,dx
.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada y'=tfracdydx. Como
y=l(tfracx2r)^3/2=x^3/22^3/2
pela regra do expoente temos
y'=32cdotx^1/22^3/2=3raizx2^5/2=3raizx4raiz2

Passo 3

Agora substituímos na fórmula do comprimento de arco. Calculamos
1+l(y'r)^2=1+9x32=32+9x32,
então
raiz1+(y')^2=raiz32+9x4raiz2
Logo
L=integral0^2raiz32+9x4raiz2,dx=14raiz2integral0^2raiz32+9x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^2raiz32+9x,dx usamos a substituição u=32+9x, du=9,dx, então
integral0^2raiz32+9x,dx=19integralu=32^50raizu,du=19cdot23u^3/2|32^50=227l(50^3/2-32^3/2r)

Passo 5

Por fim, voltando em L:
L=14raiz2cdot227l(50^3/2-32^3/2r)=154raiz2l(50raiz50-32raiz32r)
Como raiz50=5raiz2 e raiz32=4raiz2, a diferença vira
50^3/2-32^3/2=250raiz2-128raiz2=122raiz2
e
L=154raiz2cdot122raiz2=12254=6127

Resposta

6127

Exercícios relacionados