Para as funções a seguir, mostre que a função não existe em ponto algum.

Passo 1

A questão nos dá a função complexa f(z)=2x+jxy^2 (com z=x+jy) e pede para mostrar que f' não existe em nenhum ponto. O conteúdo que vamos usar é o critério de Cauchy–Riemann para diferenciabilidade de funções complexas, ou seja, vamos reescrever f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y) e aplicar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Primeiro identificamos a parte real e a parte imaginária de f. Como f(z)=u(x,y)+jv(x,y), temos:
u(x,y)=2x
v(x,y)=x y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias para as condições de Cauchy–Riemann:
ux=partialpartial x(2x)=2, uy=partialpartial y(2x)=0
vx=partialpartial x(x y^2)=y^2, vy=partialpartial y(x y^2)=2xy

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem:
ux = vy
uy = -vx

Passo 5

Substituindo os valores obtidos, temos:
2 = 2xy implies xy =1
0 = -y^2 implies y^2=0 implies y=0

Passo 6

Ao tentar satisfazer simultaneamente xy=1 e y=0, vemos que não há nenhum par (x,y) que faça 0cdot x=1. Ou seja, as condições de Cauchy–Riemann não são atendidas em nenhum ponto.
Portanto, não existe ponto z em que f seja diferenciável, e consequentemente f'(z) não existe em ponto algum.

Resposta

f'(z) não existe em ponto algum.

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