Para as funções a seguir, mostre que a função
não existe em ponto algum.
Passo 1
A questão nos dá a função complexa
(com
) e pede para mostrar que
não existe em nenhum ponto. O conteúdo que vamos usar é o critério de Cauchy–Riemann para diferenciabilidade de funções complexas, ou seja, vamos reescrever
em parte real
e parte imaginária
e aplicar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Primeiro identificamos a parte real e a parte imaginária de
. Como
, temos:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias para as condições de Cauchy–Riemann:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem:
Passo 5
Substituindo os valores obtidos, temos:
Passo 6
Ao tentar satisfazer simultaneamente
e
, vemos que não há nenhum par
que faça
. Ou seja, as condições de Cauchy–Riemann não são atendidas em nenhum ponto.
Portanto, não existe ponto em que
seja diferenciável, e consequentemente
não existe em ponto algum.
Portanto, não existe ponto