Derive e simplifique.
y=x arctg raizx

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y = x,arctg(raizx). O conteúdo principal aqui é derivada de produto e regra da cadeia aplicada à função arctan. Vamos precisar da regra do produto e da fórmula de derivada de arctan(u), que é u'/(1+u^2).

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto. Se definirmos u(x)=x e v(x)=arctg(raizx), então
y' = u',v + u,v' = 1cdotarctg(raizx) + xcdot v'

Passo 3

Agora precisamos de v'. Como v(x)=arctan(u) com u(x)=raizx=x^1/2, usamos a regra da cadeia:
u'(x)=12raizx, v'(x)=u'(x)1+u(x)^2=tfrac12raizx1+x

Passo 4

Substituindo v' em y' e simplificando o termo de x:
y' = arctg(raizx) + xcdot12raizx(1+x) = arctg(raizx) + raizx2(1+x)

Resposta

y’=\operatorname{arctg}(\sqrt{x})+\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}

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