Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
y=cosh (x), 0 <= x <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=cosh(x) no intervalo [0,3]. Vamos usar o conteúdo de comprimento de arco para funções y=f(x), que exige conhecer a derivada y' e aplicar a fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y=cosh(x). Sabemos que tfracddxcosh(x)=sinh(x). Então y'=sinh(x).

Passo 3

Na fórmula de comprimento de arco aparece raiz1+(y')^2=raiz1+sinh^2(x). Para simplificar, usamos a identidade hiperbólica cosh^2(x)-sinh^2(x)=1. Assim
raiz1+sinh^2(x)=raizcosh^2(x)=cosh(x),

Passo 4

Note que em [0,3] temos cosh(x)>=0, então essa igualdade vale sem sinal ambíguo. Logo o comprimento de arco é
L=integral0^3cosh(x),dx

Passo 5

Integrando, usamos que integralcosh(x),dx=sinh(x). Assim
L=l[sinh(x)r]0^3=sinh(3)-sinh(0)=sinh(3)

Resposta

sinh(3)

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