Sendo
e
respectivamente os vetores tangente unitário e normal unitário a uma curva espacial
parametrizada pelo comprimento de arco
, dada pela função
. Definimos o Vetor Binormal unitário, denotado por
, por
Assim, o referencial ortonormal positivo
é chamado de Triedro de Frenet de
em
.
(a) Mostre que
e conclua que
é ortogonal a
. [Dica: Derive (0.2), use a regra do produto vetorial e que
.
(b) Como
, temos
. Derive esta expressão e obtenha
0 e conclua que
é ortogonal a
.
© Dos itens anteriores perceba que
é paralelo a
, isto é,
é igual ao produto de
por um número real
(que depende de
).
(d) Conclua que podemos definir,
a torção da curva
em
.
(a) Mostre que
(b) Como
© Dos itens anteriores perceba que
(d) Conclua que podemos definir,
Passo 1
Esta questão trata do triedro de Frenet e da definição da torção de uma curva espacial parametrizada por comprimento de arco. Vamos usar a definição
, a regra de derivação do produto vetorial e a relação
.
Passo 2
Derivando
e aplicando a regra do produto vetorial, obtemos:
Isso mostra
, e como um produto vetorial é sempre ortogonal ao primeiro fator, segue-se que
é ortogonal a
.
Passo 3
Como
temos
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso mostra que
é ortogonal também a
.
Passo 4
Já que
é ortogonal a
e a
, em um triedro ortonormal só resta a direção de
. Logo existe um escalar real
tal que
Denominamos
de torção da curva.