Sendo C e s respectivamente os vetores tangente unitário e normal unitário a uma curva espacial r(s) parametrizada pelo comprimento de arco B(s), dada pela função B(s)=T(s) times N(s) . Definimos o Vetor Binormal unitário, denotado por T(s), N(s), B(s), por
C
Assim, o referencial ortonormal positivo s é chamado de Triedro de Frenet de B^prime(s)=T(s) times N^prime(s) em B^prime(s).
(a) Mostre que T(s) e conclua que |B(s)|=1 é ortogonal a B(s) cdot B(s)=1. [Dica: Derive (0.2), use a regra do produto vetorial e que B^prime(s) cdot B(s)=.
(b) Como B^prime(s), temos B(s). Derive esta expressão e obtenha B^prime(s) 0 e conclua que N(s) é ortogonal a B^prime(s).
© Dos itens anteriores perceba que N(s) é paralelo a tau, isto é, s é igual ao produto de B^prime(s)=tau(s) N(s), por um número real C (que depende de s ).
(d) Conclua que podemos definir,
a torção da curva em .

Passo 1

Esta questão trata do triedro de Frenet e da definição da torção de uma curva espacial parametrizada por comprimento de arco. Vamos usar a definição B(s)=T(s)timesN(s), a regra de derivação do produto vetorial e a relação T'(s)=kappa(s),N(s).

Passo 2

Derivando B(s)=T(s)timesN(s) e aplicando a regra do produto vetorial, obtemos:
B'(s)=T'(s)timesN(s)+T(s)timesN'(s) =kappa(s),N(s)timesN(s)+T(s)timesN'(s) =T(s)timesN'(s)
Isso mostra B'(s)=T(s)timesN'(s), e como um produto vetorial é sempre ortogonal ao primeiro fator, segue-se que B'(s) é ortogonal a T(s).

Passo 3

Como |B(s)|=1 temos B(s)cdotB(s)=1. Derivando ambos os lados em relação a s:
2,B'(s)cdotB(s)=0 Longrightarrow B'(s)cdotB(s)=0
Isso mostra que B'(s) é ortogonal também a B(s).

Passo 4

Já que B'(s) é ortogonal a T(s) e a B(s), em um triedro ortonormal só resta a direção de N(s). Logo existe um escalar real tau(s) tal que
B'(s)=tau(s),N(s)
Denominamos tau(s) de torção da curva.

Resposta

B'(s)=tau(s),N(s).

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