Esboce o campo de vetores F(x, y, z) em cada um dos itens abaixo.
F(x, y)=x i-y j

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo de vetores F(x,y)=x, i - y, j. Isso é um exercício de como desenhar campos vetoriais em R^2: a gente precisa entender a direção e o módulo de F em pontos representativos do plano.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y), temos
F(x,y) = lang<= x, -yrang<=
Isto significa que a componente horizontal do vetor é x (para a direita se x>0, para a esquerda se x<0) e a componente vertical é -y (para baixo se y>0, para cima se y<0).

Passo 3

No eixo x (quando y=0), F(x,0)=lang<= x,0rang<=: flechas puramente horizontais que crescem de comprimento conforme |x| aumenta. No eixo y (quando x=0), F(0,y)=lang<=0,-yrang<=: flechas verticais apontando para baixo se y>0 e para cima se y<0.

Passo 4

Em cada quadrante, combinamos esses sinais:
Quadrante I ( x>0,y>0): F aponta para sudeste (direção +,-).
Quadrante II ( x<0,y>0): aponta para sudoeste ( -,-).
Quadrante III ( x<0,y<0): aponta para noroeste ( -,+).
Quadrante IV ( x>0,y<0): aponta para nordeste ( +,+).
O módulo de F é raizx^2 + y^2, então as setas ficam maiores quanto mais distantes da origem.

Passo 5

Juntando tudo, o campo forma um “sela”: ao longo do eixo x as setas saem da origem, ao longo do eixo y elas entram na origem, e nos quadrantes as direções diagonais seguem o padrão acima. Basta desenhar alguns vetores em pontos como (pm1,0), (0,pm1) e (pm1,pm1) e interpolar o resto para completar o esboço.

Resposta

O esboço mostra um campo tipo sela: no eixo x vetores horizontais saindo da origem, no eixo y vetores verticais entrando na origem, e nos quadrantes as setas apontam respectivamente para SE, SW, NW e NE, com comprimento crescente à medida que nos afastamos da origem.

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