Ache o comprimento do arco da curva dada entre es valores indicados de parâmetro:
R(t)=(d+b) i+(c t+d) j ; \quad t=t_{1} \quad a \quad t=t_{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva vetorial
R(t) = (d + b)\,\mathbf{i} + (c\,t + d)\,\mathbf{j}
para t variando de t_{1} até t_{2} e pede o comprimento do arco nesse intervalo. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, para o qual precisamos do vetor derivada R'(t) e da fórmula
L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \big\|R'(t)\big\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente. Como (d+b) é constante e c\,t + d é linear, temos
R'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((d+b)\bigr)\,\mathbf{i} + \frac{d}{dt}\bigl(c\,t + d\bigr)\,\mathbf{j} = 0\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j}.

Passo 3

O módulo de R'(t) é constante, pois
\big\|R'(t)\big\| = \sqrt{0^{2} + c^{2}} = |c|.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} |c|\,dt = |c|\,(t_{2} - t_{1}).

Resposta

L = |c|\,(t_{2} - t_{1}).

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