A função horária do movimento de uma partícula é dada por S(t)=\left(t^{2}-t\right) \cdot \ln t. Calcule a velocidade desta partícula nos instantes t=\frac{1}{2} e \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá a função horária
S(t) = \bigl(t^{2} - t\bigr)\,\ln t
e pede a velocidade v(t)=S'(t) nos instantes t=\tfrac12 e t=1. Vamos aplicar a regra do produto para derivar S(t).

Passo 2

Definimos
f(t)=t^{2}-t, \quad g(t)=\ln t,
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f'(t)=2t-1, \quad g'(t)=\frac1t.
Pela regra do produto,
S'(t)=f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t) =(2t-1)\ln t+\frac{t^{2}-t}{t} =(2t-1)\ln t + t - 1.

Passo 3

Para t=\tfrac12:
2t-1=2\cdot\tfrac12-1=0, \quad \ln\tfrac12\neq\text{isso não importa, pois multiplica 0}, \quad t-1=\tfrac12-1=-\tfrac12.ã
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v\bigl(\tfrac12\bigr)=S'\bigl(\tfrac12\bigr)=0 + \bigl(-\tfrac12\bigr)=-\tfrac12.

Passo 4

Para t=1:
2t-1=2\cdot1-1=1, \quad \ln1=0, \quad t-1=1-1=0.
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v(1)=S'(1)=1\cdot0+0=0.

Resposta

v\bigl(\tfrac12\bigr)=-\tfrac12
v(1)=0

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