Pressão sanguínea Quando o sangue se move do coração para as grandes artérias, destas para os capilares e dos capilares para as veias, a pressão sistólica diminui progressivamente. Considere uma pessoa cuja pressão sistólica P (em milímetros de mercúrio) é dada por
P=\frac{25 t^{2}+125}{t^{2}+1}, \quad 0 \leq t \leq 10
Onde t é o tempo em segundos após o sangue deixar o coração. Qual é a taxa de variação da pressão sistólica oito segundos após o sangue deixar o coração?

Passo 1

O enunciado dá a pressão sistólica
P(t)=\frac{25\,t^{2}+125}{t^{2}+1}
em milímetros de mercúrio, com t em segundos após o sangue sair do coração, e pede a taxa de variação \tfrac{dP}{dt} em t=8. Para isso vamos usar a regra do quociente para derivar P(t).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, para
P(t)=\frac{N(t)}{D(t)},\quad N(t)=25\,t^{2}+125,\;D(t)=t^{2}+1,
temos
P'(t) =\frac{N'(t)\,D(t)-N(t)\,D'(t)}{\bigl(D(t)\bigr)^{2}} =\frac{(50\,t)(t^{2}+1)-(25\,t^{2}+125)(2\,t)}{(t^{2}+1)^{2}}.
No numerador:
50\,t^{3}+50\,t-50\,t^{3}-250\,t=-200\,t.
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P'(t)=-\frac{200\,t}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Em t=8 segundos,
P'(8)=-\frac{200\cdot8}{(8^{2}+1)^{2}} =-\frac{1600}{65^{2}} =-\frac{1600}{4225}\approx -0,379.

Resposta

P'(8)=-\frac{1600}{4225}\text{ mmHg/s}\approx -0,379\text{ mmHg/s}.

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