Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
r(t)=<12 t^2+t, 12 t^2-t>; t=0 a t=1

Passo 1

Temos a curva vec r(t)=lang<=tfrac12t^2+t,,tfrac12t^2-trang<= para t de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula L=integrala^b|vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada: vec r,'(t)=lang<= t+1,,t-1rang<=. Logo o módulo fica
|vec r,'(t)|=raiz(t+1)^2+(t-1)^2=raiz2t^2+2=raiz2,raizt^2+1

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L=integral0^1|vec r,'(t)|,dt=raiz2integral0^1raizt^2+1,dt

Passo 4

Para calcular integralraizt^2+1,dt usamos a primitiva
integralraizt^2+1,dt=t2raizt^2+1+12lnl(t+raizt^2+1r)+C
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1raizt^2+1,dt=l[tfract2raizt^2+1+tfrac12lnl(t+raizt^2+1r)r]0^1=raiz22+12ln(1+raiz2)

Passo 5

Multiplicando por raiz2 e simplificando, chega-se a
L=raiz2l(tfracraiz22+tfrac12ln(1+raiz2)r)=1+raiz22ln(1+raiz2)

Resposta

1+tfracraiz22ln(1+raiz2)

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