Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
Passo 1
O enunciado pede para achar o comprimento de arco da curva no espaço definida por
para
variando de 1 até 3. O conteúdo principal é o cálculo de comprimento de curva parametrizada e vamos usar a fórmula baseada na norma da derivada do vetor posição.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, primeiro calculamos a derivada
. Derivando componente a componente, temos:
Passo 3
Em seguida, encontramos a norma de
, pois o comprimento de arco é
Calculando a norma:
Passo 4
Logo, o comprimento de arco fica expresso por
Passo 5
Para ter uma ideia do valor, podemos aproximar numericamente essa integral (por exemplo, usando o método de Simpson ou outro método de quadratura). Uma estimativa via regra de Simpson com passo
dá aproximadamente
.