Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
r(t)=<3 t^2, 2 t^3, 4 t>; t=1 a t=3

Passo 1

O enunciado pede para achar o comprimento de arco da curva no espaço definida por vec r(t)=lang<=3t^2,2t^3,4trang<= para t variando de 1 até 3. O conteúdo principal é o cálculo de comprimento de curva parametrizada e vamos usar a fórmula baseada na norma da derivada do vetor posição.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, primeiro calculamos a derivada vec r,'(t). Derivando componente a componente, temos:
vec r,'(t)=lang<=ddt(3t^2),ddt(2t^3),ddt(4t)rang<==lang<=6t,6t^2,4rang<=

Passo 3

Em seguida, encontramos a norma de vec r,'(t), pois o comprimento de arco é
L=integral1^3|vec r,'(t)|,dt
Calculando a norma:
|vec r,'(t)|=raiz(6t)^2+(6t^2)^2+4^2=raiz36t^2+36t^4+16=2raiz9t^4+9t^2+4

Passo 4

Logo, o comprimento de arco fica expresso por
L=integral1^32raiz9t^4+9t^2+4,dt

Passo 5

Para ter uma ideia do valor, podemos aproximar numericamente essa integral (por exemplo, usando o método de Simpson ou outro método de quadratura). Uma estimativa via regra de Simpson com passo h=0.5 dá aproximadamente Lapprox58.3.

Resposta

L=integral1^32raiz9t^4+9t^2+4,dtapprox58.3

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