Determine a a integral das funções vetoriais seguintes:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva (integral indefinida) de uma função vetorial. O conteúdo é integração componente a componente de funções vetoriais: basta integrar cada coordenada em relação a t.

Passo 2

Para o componente em i:
integrall(e^3t+2r),dt =integral e^3t,dt+integral2,dt =13e^3t+2t+C1

Passo 3

Para o componente em j:
integral2e^3t,dt =2integral e^3t,dt =2cdot13e^3t+C2 =23e^3t+C2

Passo 4

Para o componente em k, usamos integração por partes em integralln(3t),dt. Seja u=ln(3t) e dv=dt. Então du=1/t,dt e v=t, logo:
integralln(3t),dt=tln(3t)-integral tcdot1t,dt =tln(3t)-t+C3

Passo 5

Juntando tudo e colocando a constante vetorial C=C1,i+C2,j+C3,k, obtemos a primitiva vetorial:

Resposta

integralvec r(t),dt=l(tfrac13e^3t+2tr),i+l(tfrac23e^3tr),j+l(tln(3t)-tr),k+C

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