Seja f a função definida por
f(x)=ccc 4 x^21+x^2, & se & x <=-1 x^3+3 x^2+x+1, & se & -11
Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

A questão nos dá uma função por partes e pede os pontos onde ela deixa de ser contínua, ou seja, onde falha a igualdade entre limite à esquerda, limite à direita e valor da função. O conteúdo aqui é continuidade de funções reais e vamos precisar usar a definição de limite e verificar os pontos de fronteira das regiões.

Passo 2

Dentro de cada ramo — x<=-1, -1 e x>1 — as expressões são, respectivamente, uma função racional sem zeros no denominador, um polinômio e uma função afim. Todas são contínuas em seus domínios, então não há descontinuidade “isolada” dentro de cada intervalo. Sobram só os pontos de fronteira x=-1 e x=1.

Passo 3

Analisando x=-1: o valor da função é f(-1)=4(-1)^21+(-1)^2=42=2. O limite pela direita (usando x^3+3x^2+x+1) é (-1)^3+3(-1)^2+(-1)+1=2. Como limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x)=f(-1)=2, f é contínua em x=-1.

Passo 4

Analisando x=1: o valor da função, via ramo do meio, é f(1)=1^3+3cdot1^2+1+1=6. O limite pela direita (ramo 10x-3) é 10cdot1-3=7. Como limxto1^-f(x)=6 e limxto1^+f(x)=7, os limites não coincidem, logo há descontinuidade em x=1.

Resposta

O único ponto de descontinuidade de f é x=1.

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