Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva espacial no intervalo . Isso é conteúdo de cálculo de comprimento de arco de curvas parametrizadas, e vamos precisar usar a fórmula
além de derivar vec r(t) e calcular o módulo do vetor derivada.
Passo 2
Derivando componente a componente temos
vec r,'(t)=llang<=2t+2,;6t,;2t-2rrang<=
Aqui aplicamos a regra de derivação de funções polinomiais.
Substituindo e simplificando, obtemos o comprimento de arco.
Passo 7
Após calcular no limite superior e subtrair o limite inferior, chegamos a:
Passo 8
Percebe-se que no limite t=2 temos 2raiz46 vindo do primeiro termo e um logaritmo, e no limite t=0 só um logaritmo de raiz2. A simplificação final leva a expressão abaixo.