Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
r(t)=; t=0 a t=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva espacial vec r(t)=lang<= t^2+2t,,3t^2,,t^2-2trang<= no intervalo tin[0,2]. Isso é conteúdo de cálculo de comprimento de arco de curvas parametrizadas, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^bllVertvec r,'(t)rrVert,dt
além de derivar vec r(t) e calcular o módulo do vetor derivada.

Passo 2

Derivando componente a componente temos
vec r,'(t)=llang<=2t+2,;6t,;2t-2rrang<=
Aqui aplicamos a regra de derivação de funções polinomiais.

Passo 3

Agora calculamos o quadrado do módulo:
llVertvec r,'(t)rrVert^2=(2t+2)^2+(6t)^2+(2t-2)^2=44t^2+8=4,(11t^2+2)
Logo
llVertvec r,'(t)rrVert=2raiz11t^2+2

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L=integral0^2 2raiz11t^2+2,dt=2integral0^2raiz11t^2+2,dt

Passo 5

Para resolver integralraiz11t^2+2,dt, usamos a substituição
u=raiz11,t, du=raiz11,dt,
e a fórmula padrão
integralraizu^2+a^2,du= u2raizu^2+a^2+a^22lnl|u+raizu^2+a^2r|+C
Isso leva a
integralraiz11t^2+2,dt= t2raiz11t^2+2+1raiz11lnl(raiz11,t+raiz11t^2+2r)+C

Passo 6

Finalmente, avaliando de 0 a 2 e lembrando do fator 2:
L=2l[ t2raiz11t^2+2+1raiz11lnl(raiz11,t+raiz11t^2+2r)r]0^2
Substituindo e simplificando, obtemos o comprimento de arco.

Passo 7

Após calcular no limite superior e subtrair o limite inferior, chegamos a:

Passo 8

Percebe-se que no limite t=2 temos 2raiz46 vindo do primeiro termo e um logaritmo, e no limite t=0 só um logaritmo de raiz2. A simplificação final leva a expressão abaixo.

Resposta

L=2\sqrt{46}+\frac{2}{\sqrt{11}}\ln\Bigl(2\sqrt{11}+\sqrt{46}\Bigr) - \frac{1}{\sqrt{11}}\ln2

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