Use derivação implícita para determinar uma equação para a reta tangente e uma para a reta normal ao gráfico da curva no ponto P dado.
x^2+y^2+76=(2 x^2+2 y^2-x)^2, P=(1,-2).

Passo 1

A curva é dada implicitamente por
x^2+y^2+76=l(2x^2+2y^2-xr)^2
e queremos as retas tangente e normal no ponto P=(1,-2). Vamos usar derivação implícita para achar y'=tfracdydx e daí obter as equações.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicando a regra da cadeia no lado direito, obtemos
ddx(x^2+y^2+76)=ddxl(2x^2+2y^2-xr)^2
2x+2y,y'=2l(2x^2+2y^2-xr)l(4x+4y,y'-1r)

Passo 3

Vamos isolar y'. Defina A=2x^2+2y^2-x. A equação vira
2x+2y,y'=2A(4x-1)+2Acdot4y,y'
Reagrupando termos com y':
2y,y'-8A,y,y'=8A,x-2A-2x
y'(2y-8A,y)=8A,x-2A-2x

Passo 4

No ponto P=(1,-2) temos
A=2(1)^2+2(-2)^2-1=2+8-1=9
e então
numerador=8cdot9cdot1-2cdot9-2cdot1=72-18-2=52,
denominador=2(-2)-8cdot9(-2)=-4+144=140,
portanto
y'l|(1,-2)=52140=1335

Passo 5

A reta tangente tem coeficiente angular m=13/35, de modo que sua equação é
y+2=1335(x-1)

Passo 6

A reta normal tem coeficiente angular -35/13, logo sua equação é
y+2=-3513(x-1)

Resposta

Tangente: y+2=\tfrac{13}{35}(x−1) ; Normal: y+2=−\tfrac{35}{13}(x−1)

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