Use derivação implícita para determinar uma equação para a reta tangente e uma para a reta normal ao gráfico da curva no ponto
dado.
.
Passo 1
A curva é dada implicitamente por
e queremos as retas tangente e normal no ponto
. Vamos usar derivação implícita para achar
e daí obter as equações.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a
, lembrando que
é função de
e aplicando a regra da cadeia no lado direito, obtemos
Passo 3
Vamos isolar
. Defina
. A equação vira
Reagrupando termos com
:
Passo 4
No ponto
temos
e então
portanto
Passo 5
A reta tangente tem coeficiente angular
m=13/35 , de modo que sua equação é
Passo 6
A reta normal tem coeficiente angular
-35/13 , logo sua equação é
Resposta
Tangente: y+2=\tfrac{13}{35}(x−1) ; Normal: y+2=−\tfrac{35}{13}(x−1)