Calcule as seguintes integrais iteradas invertendo, inicialmente, a ordem de integração.
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Passo 1
Vamos resolver a integral iterada:
Para isso, vamos inverter a ordem de integração. Isso envolve entender como os limites de $ x $ e $ y $ estão relacionados e reescrevê-los de forma que $ y $ seja integrado primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano $ xy $. A integral original indica que $ x $ varia de 0 a 4 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ \sqrt{x} $ a 2. Isso forma uma área onde $ y $ está acima da curva $ y = \sqrt{x} $ e abaixo de $ y = 2 $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, queremos que $ y $ seja o primeiro a ser integrado. Observamos que $ y $ varia de 0 a 2. Para cada valor de $ y $ nessa faixa, $ x $ varia de 0 até $ y^{2} $ (pois $ y = \sqrt{x} $ implica $ x = y^{2} $).
Passo 4
Com a ordem invertida, a integral fica assim:
Note que a função $ \sin\left(\pi y^{3}\right) $ não depende de $ x $, o que simplifica a integração.
Passo 5
Vamos integrar em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, a integral reduz para:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição.
Passo 7
Definimos $ u = \pi y^{3} $. Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Voltando para a variável original $ y $:
Passo 10
Sabemos que $ \cos(8\pi) = 1 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
Resposta
A integral avaliada é igual a $ 0 $.