Calcule as seguintes integrais iteradas invertendo, inicialmente, a ordem de integração.
integral0^4 integralraizx^2 sen(pi y^3) d y d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada:
integral0^4 integralraizx^2 sin(pi y^3) , dy , dx
Para isso, vamos inverter a ordem de integração. Isso envolve entender como os limites de $ x $ e $ y $ estão relacionados e reescrevê-los de forma que $ y $ seja integrado primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano $ xy $. A integral original indica que $ x $ varia de 0 a 4 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ \sqrt{x} $ a 2. Isso forma uma área onde $ y $ está acima da curva $ y = \sqrt{x} $ e abaixo de $ y = 2 $.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, queremos que $ y $ seja o primeiro a ser integrado. Observamos que $ y $ varia de 0 a 2. Para cada valor de $ y $ nessa faixa, $ x $ varia de 0 até $ y^{2} $ (pois $ y = \sqrt{x} $ implica $ x = y^{2} $).

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral fica assim:
integral0^2 integral0^y^2 sin(pi y^3) , dx , dy
Note que a função $ \sin\left(\pi y^{3}\right) $ não depende de $ x $, o que simplifica a integração.

Passo 5

Vamos integrar em relação a $ x $:
x

Passo 6

Agora, a integral reduz para:
integral0^2 y^2 sin(pi y^3) , dy
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 7

Definimos $ u = \pi y^{3} $. Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u = pi y^3

Passo 8

Substituindo na integral:
integral y^2 sin(pi y^3) , dy = 13pi integral sin(u) , du = -13pi cos(u) + C

Passo 9

Voltando para a variável original $ y $:
y

Passo 10

Sabemos que $ \cos(8\pi) = 1 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
cos(8pi) = 1

Resposta

A integral avaliada é igual a $ 0 $.

Exercícios relacionados