Ache o comprimento de arco da curva dada no intervalo determinado:
r(t)=; t=pi6 a t=pi2

Passo 1

Temos a curva r(t)=lang<=ln(sin t),,1+trang<= para tin[pi/6,pi/2]. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula L=integrala^b|r'(t)|,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada
r'(t)=l(ln(sin t)r)',hatimath + (1+t)',hatjmath=l(cos tsin t,,1r)=lang<=cot t,,1rang<=

Passo 3

Determinamos a velocidade
|r'(t)|=raizcot^2t+1=raizcsc^2t=csc t,,
pois em [pi/6,pi/2] temos sin t>0.

Passo 4

Montamos o integral de comprimento:
L=integralpi/6^pi/2csc t,dt
Reconhecemos que
integralcsc t,dt=lnl(tan(tfrac t2)r)+C

Passo 5

Avaliamos nos limites:
L=lnl(tan(tfracpi4)r)-lnl(tan(tfracpi12)r) =0-ln(2-raiz3)=-ln(2-raiz3)=ln(2+raiz3)

Resposta

ln(2+raiz3)

Exercícios relacionados