Use derivação implícita para determinar uma equação para a reta tangente e uma para a reta normal ao gráfico da curva no ponto P dado.
y^2(y^2-4)=x^2(x^2-5), P=(0,-2).

Passo 1

Temos a curva dada por y^2(y^2-4)=x^2(x^2-5) e queremos as equações da reta tangente e normal no ponto P=(0,-2). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter dydx e depois as equações de reta.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x: ddx[y^2(y^2-4)] = ddx[x^2(x^2-5)]. Usando a regra do produto e a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no direito, obtemos: 2y y'(y^2-4) + y^2cdot 2y y' = 2x(x^2-5) + x^2cdot 2x.

Passo 3

Agrupando y' no lado esquerdo e simplificando, chega-se a: y'(4y^3 - 8y) = 4x^3 - 10x Longrightarrow dydx = 4x^3 - 10x4y^3 - 8y.

Passo 4

Substituindo o ponto P=(0,-2) na expressão de dydx: dydx|(0,-2) = 4cdot0^3 - 10cdot04(-2)^3 - 8(-2) = 0-16 = 0. Logo, a inclinação da reta tangente em P é mt=0.

Passo 5

Com mt=0, a reta tangente é horizontal: y=-2. E a reta normal, sendo perpendicular (inclinação indefinida), é vertical: x=0.

Resposta

Equação da reta tangente: y=-2. Equação da reta normal: x=0.

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