Para cada função vetorial, determinar os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal.
r(t)=<13 t^3-t, t^2>

Passo 1

O enunciado pede os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal para a curva no plano dada por vec r(t)=lang<=tfrac13t^3-t,;t^2rang<=. Vamos precisar usar derivadas para achar primeiro vec r,'(t), depois normalizar para obter T(t), em seguida derivar T(t) para achar N(t) e finalmente fazer o produto vetorial para B(t).

Passo 2

Calculamos a derivada e seu módulo:
vec r,'(t)=llang<= t^2-1,;2trrang<=,
lvertvec r,'(t)rvert= raiz(t^2-1)^2+(2t)^2= raizt^4+2t^2+1=t^2+1

Passo 3

O vetor tangente unitário é dado por
T(t)=vec r,'(t)lvertvec r,'(t)rvert =lang<= t^2-1t^2+1,;2tt^2+1 rang<=

Passo 4

Para o normal, derivamos T(t) e normalizamos:
T'(t)=lang<= 4t(t^2+1)^2,;2(1-t^2)(t^2+1)^2 rang<=,
lvert T'(t)rvert= 2t^2+1,
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N(t)= T'(t)lvert T'(t)rvert =lang<= 2tt^2+1,;1-t^2t^2+1 rang<=

Passo 5

O binormal é o produto vetorial em R^3 de T e N. Elevando para z- eixos:
B(t)= T(t)times N(t) =lang<=0,0,T1N2-T2N1rang<= =lang<=0,0,-1rang<=

Resposta

T(t)=\langle\tfrac{t2-1}{t2+1},;\tfrac{2t}{t^2+1}\rangle,
N(t)=\langle\tfrac{2t}{t2+1},;\tfrac{1-t2}{t^2+1}\rangle,
B(t)=\langle0,0,-1\rangle

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