Ache o comprimento do arco da curva dada entre os valores indicados do parâmetro. ; a
Obs: e
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
R(t)=\bigl(\ln\sqrt{1+t2},,\tan{-1}t\bigr) de t=0 a t=1. O conteúdo aqui é comprimento de arco para curvas no plano, que exige calcular Râ²(t), sua norma e integrar de 0 a 1.
Passo 2
Para achar Râ²(t), primeiro escrevo as componentes x(t)=\ln\sqrt{1+t^2} e y(t)=\tan^{-1}t. Uso regra da cadeia:
Para x(t):
lnraiz1+t^2=tfrac12ln(1+t^2)
Então
x'(t)=tfrac12cdot2t1+t^2=t1+t^2
Para y(t)=\tan^{-1}t, como Dₓ\tan{-1}u=\frac{u’}{1+u2}, aqui u=t então