Ache o comprimento do arco da curva dada entre os valores indicados do parâmetro.
R(t)=(ln raiz1+t^2) i+(tan ^-1 t) j ; t=0 a t=1
Obs: Dx tan ^-1 u=Dx u1+u^2 e integral d uraiza^2+u^2=ln |u+raiza^2+u^2|+C

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
R(t)=\bigl(\ln\sqrt{1+t2},,\tan{-1}t\bigr) de t=0 a t=1. O conteúdo aqui é comprimento de arco para curvas no plano, que exige calcular R′(t), sua norma e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Para achar R′(t), primeiro escrevo as componentes x(t)=\ln\sqrt{1+t^2} e y(t)=\tan^{-1}t. Uso regra da cadeia:
Para x(t):
lnraiz1+t^2=tfrac12ln(1+t^2)
Então
x'(t)=tfrac12cdot2t1+t^2=t1+t^2
Para y(t)=\tan^{-1}t, como Dₓ\tan{-1}u=\frac{u’}{1+u2}, aqui u=t então
y'(t)=11+t^2

Passo 3

Agora a norma de R′(t) é
|R'(t)|=raizl(tfract1+t^2r)^2+l(tfrac11+t^2r)^2 =raizt^2+1(1+t^2)^2 =1raiz1+t^2

Passo 4

O comprimento de arco é
S=integral0^1|R'(t)|,dt=integral0^1dtraiz1+t^2
Este é um integral padrão do tipo integral du/raiza^2+u^2.

Passo 5

Aplicando
integralduraiz1+u^2=lnl(u+raiz1+u^2r)+C,
temos
S=l[lnl(t+raiz1+t^2r)r]0^1 =lnl(1+raiz2r)-ln(0+1) =lnl(1+raiz2r)

Resposta

ln(1+raiz2)

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