Calcule a integral dupla seguinte:
integral duplaR(2 x+y) d x d y ; R:-3 <= x <= 3,0 <= y <= raiz9-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(2x+y),dx,dy sobre a região R definida por -3<= x<=3 e 0<= y<=raiz9-x^2. O conteúdo aqui é integrais duplas via integração iterada em coordenadas cartesianas, e vamos precisar primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Começamos calculando a integral interna em y:
integral0^raiz9-x^2(2x+y),dy =[2x,y+y^22]0^raiz9-x^2 =2xraiz9-x^2+(raiz9-x^2)^22 =2xraiz9-x^2+9-x^22

Passo 3

Assim a integral original vira
integral-3^3l(2xraiz9-x^2+9-x^22r)dx =integral-3^32xraiz9-x^2,dx+12integral-3^3(9-x^2),dx

Passo 4

Note que f(x)=2xraiz9-x^2 é função ímpar (pois é x vezes uma raiz par), então
integral-3^32xraiz9-x^2,dx=0

Passo 5

Fica só a parte par:
12integral-3^3(9-x^2),dx =12l[9x-x^33r]-3^3 =12l[(27-9)-(-27+9)r] =12times36 =18

Resposta

18

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