Calcule a integral dupla seguinte:
integral duplaR x cos x y d x d y ; R: 1 <= x <= 2 e pi2 <= y <= 2 pix

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR xcos(xy),dx,dy, onde a região R é dada por 1 <= x <= 2 e tfracpi2 <= y <= tfrac2pix. Vamos usar integração iterada e antiderivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Podemos reescrever a integral dupla como integral iterada em y primeiro e depois em x:
integralx=1^2integraly=pi/2^2pi/x xcos(xy),dy,dx

Passo 3

Para a integral interna em y, observamos que a derivada de sin(xy) em relação a y é xcos(xy). Logo,
integralpi/2^2pi/x xcos(xy),dy = l[sin(xy)r]y=pi/2^y=2pi/x = sin(2pi) - sinl(tfracpi x2r) = -sinl(tfracpi x2r)

Passo 4

A integral dupla agora fica
integral1^2 -sinl(tfracpi x2r),dx = -integral1^2 sinl(tfracpi x2r),dx

Passo 5

Para integrar sin(tfracpi x2) usamos a fórmula integralsin(ax),dx = -tfrac1acos(ax). Aqui a=tfracpi2, então
integral sinl(tfracpi x2r),dx = -2picosl(tfracpi x2r)
Portanto,
-integral1^2 sinl(tfracpi x2r),dx = 2pil[cosl(tfracpi x2r)r]1^2

Passo 6

Basta avaliar em x=1 e x=2:
2pil(cos(pi) - cos(tfracpi2)r) = 2pi(-1 - 0) = -2pi

Resposta

-tfrac2pi

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