Calcule o trabalho realizado pela força F(x, y)=(3 x-4 y) i+(4 x+2 y) j que move uma partícula ao longo da curva C:lx=4 t+1 y=3 t^2, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Vamos calcular o trabalho de uma força vetorial usando a integral de linha. O conteúdo é o cálculo de trabalho via integral de linha de um campo vetorial. Precisamos parametrizar a curva, obter o vetor diferencial de deslocamento e fazer o produto escalar com o campo.

Passo 2

Para parametrizar, já temos x(t)=4t+1 e y(t)=3t^2 com 0<= t<=2. Calculamos o vetor diferencial de deslocamento d r=(dx,dy). Assim,
dxdt=4,dydt=6t
“e portanto”
d r=(4,6t),dt

Passo 3

Expressamos o campo F(x,y)=(3x-4y,,4x+2y) em função de t. Substituindo x=4t+1 e y=3t^2 obtemos
F1=-12t^2+12t+3, F2=6t^2+16t+4

Passo 4

Fazemos então o produto escalar F(t)cdot d r:
Fcdot d r=F1cdot4+F2cdot6t=4(-12t^2+12t+3)+6t(6t^2+16t+4)
Simplificando o integrando:
$$
4(-12t^2+12t+3)= -48t^2+48t+12,\
6t(6t2+16t+4)=36t3+96t^2+24t,\
somando:36t3+48t2+72t+12.
$$

Passo 5

O trabalho é a integral de Fcdot d r de t=0 até t=2:
$$
W=\int_02(36t3+48t^2+72t+12),dt. W=integral0^2(36t^3+48t^2+72t+12),dt\int_0^2 36t3,dt=9t4\Big|_0^2=9\cdot16=144,\
\int_0^2 48t2,dt=16t3\Big|_0^2=16\cdot8=128,\
\int_0^2 72t,dt=36t2\Big|_02=36\cdot4=144,\
\int_0^2 12,dt=12t\Big|_0^2=24.\
W=144+128+144+24=440.$$

Resposta

W=440

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