Calcule o trabalho realizado pela força
que move uma partícula ao longo da curva
.
Passo 1
Vamos calcular o trabalho de uma força vetorial usando a integral de linha. O conteúdo é o cálculo de trabalho via integral de linha de um campo vetorial. Precisamos parametrizar a curva, obter o vetor diferencial de deslocamento e fazer o produto escalar com o campo.
Passo 2
Para parametrizar, já temos
e
com
. Calculamos o vetor diferencial de deslocamento
. Assim,
“e portanto”
Passo 3
Expressamos o campo
em função de
. Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Fazemos então o produto escalar
:
Simplificando o integrando:
$$
4(-12t^2+12t+3)= -48t^2+48t+12,\
6t(6t2+16t+4)=36t3+96t^2+24t,\
somando:36t3+48t2+72t+12.
6t(6t2+16t+4)=36t3+96t^2+24t,\
somando:36t3+48t2+72t+12.
$$
Passo 5
O trabalho é a integral de
de
até
:
$$
W=\int_02(36t3+48t^2+72t+12),dt.
\int_0^2 36t3,dt=9t4\Big|_0^2=9\cdot16=144,\
\int_0^2 48t2,dt=16t3\Big|_0^2=16\cdot8=128,\
\int_0^2 72t,dt=36t2\Big|_02=36\cdot4=144,\
\int_0^2 12,dt=12t\Big|_0^2=24.\
\int_0^2 72t,dt=36t2\Big|_02=36\cdot4=144,\
\int_0^2 12,dt=12t\Big|_0^2=24.\
W=144+128+144+24=440.$$