Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A circunferência descrita por: \mathbf{R}(t)=a \cos t \mathbf{i}+a \operatorname{sen} t \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+a\operatorname{sen} t\,\mathbf{j},
com a>0, que é uma circunferência de raio a. Ele pede o comprimento do arco entre dois valores de parâmetro t=t_0 e t=t_1. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curva paramétrica.

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes de \mathbf{R}(t):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(a\cos t)=-a\operatorname{sen} t, \quad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(a\operatorname{sen} t)=a\cos t.
Pela fórmula, o comprimento de arco é
L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.

Passo 3

Substituindo as derivadas no integrando, obtemos
\sqrt{(-a\operatorname{sen} t)^2+(a\cos t)^2} =\sqrt{a^2\operatorname{sen}^2t+a^2\cos^2t} =\sqrt{a^2(\operatorname{sen}^2t+\cos^2t)} =\sqrt{a^2} =a,
pois a>0.

Passo 4

Portanto
L=\int_{t_0}^{t_1}a\,dt =a\bigl(t_1-t_0\bigr).
Em particular, para descrever a circunferência completa toma-se t_0=0 e t_1=2\pi, o que dá
L_{\text{total}}=a\,(2\pi-0)=2\pi a.

Resposta

O comprimento do arco entre t=t_0 e t=t_1 é
L=a\bigl(t_1-t_0\bigr).
Para a volta inteira 0\le t\le2\pi, L=2\pi a.

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