Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
x=4 \operatorname{sen} 2 t, y=4 \cos 2 t; de t=0 a t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=4\operatorname{sen} 2t,\quad y=4\cos 2t,
para 0\le t\le \pi, e pede o comprimento de arco. O conteúdo é a fórmula de comprimento de curva no plano, que é
L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=4\cdot 2\cos 2t=8\cos 2t,
\frac{dy}{dt}=4\cdot(-2\operatorname{sen} 2t)=-8\operatorname{sen} 2t.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando fica
\sqrt{(8\cos 2t)^2+(-8\operatorname{sen} 2t)^2} =\sqrt{64\cos^2 2t+64\operatorname{sen}^2 2t} =\sqrt{64}=8.

Passo 4

Como o integrando é constante, temos
L=\int_{0}^{\pi}8\,dt =8\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} =8\pi.

Resposta

8\pi

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