Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
\mathbf{R}(t)=\left(t^{2}+3\right) \mathbf{i}+3 t^{2} \mathbf{j}; de t=1 a t=4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=\bigl(t^{2}+3\bigr)\,\mathbf{i}+3t^{2}\,\mathbf{j}
no intervalo t\in[1,4]. O conteúdo é comprimento de arco de curva em \mathbb{R}^2, para o qual usamos a fórmula
L=\int_{t_0}^{t_1}\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada vectorial
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+3\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)\,\mathbf{j} =2t\,\mathbf{i}+6t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Determinamos a norma de \mathbf{R}'(t):
\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\| =\sqrt{(2t)^{2}+(6t)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+36t^{2}} =\sqrt{40\,t^{2}} = \sqrt{40}\,|t| =2\sqrt{10}\,t,
pois em t\in[1,4] temos t>0.

Passo 4

Montamos o integral para o comprimento:
L=\int_{1}^{4}2\sqrt{10}\,t\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral:
L=2\sqrt{10}\int_{1}^{4}t\,dt =2\sqrt{10}\Bigl[\frac{t^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\sqrt{10}\bigl(4^{2}-1^{2}\bigr) =\sqrt{10}\,(16-1) =15\sqrt{10}.

Resposta

O comprimento do arco é 15\sqrt{10}.

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