Ache o comprimento de arco do gráfico de
de
a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o comprimento de arco do seu gráfico entre os pontos
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que precisamos encontrar: o comprimento da curva
para
variando de
até
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (fórmula do comprimento de arco para curvas no plano): se
é diferenciável em
, então o comprimento
do gráfico de
de
até
é
Explicando essa fórmula de forma simples: em cada ponto a curva tem uma inclinação
. O elemento de arco (pequeno pedaço de reta que aproxima a curva) tem comprimento aproximado
. Integrando esses pedacinhos ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.
Passo 3
Precisamos do derivado de
. Vamos lembrar a definição básica das funções hiperbólicas em termos de exponenciais:
Derivando
usando essas definições (ou sabendo a regra conhecida), obtemos
Então
no nosso caso.
Passo 4
Substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Agora usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
Rearranjando, temos
. Assim o integrando fica
Observação importante:
para todo
, logo
(escolhemos o sinal positivo porque cosh é não negativa). Portanto
Passo 5
Agora integramos
. Uma primitiva conhecida é
, pois
. Então
E como
, conclui-se