Ache o comprimento de arco do gráfico de
y=\operatorname{cosh} x de (0,1) a (1, \operatorname{cosh} 1)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{cosh} x e pede o comprimento de arco do seu gráfico entre os pontos (0,1) e (1,\operatorname{cosh} 1).
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: } y=\operatorname{cosh} x, \qquad \text{intervalo em } x: [0,1], \qquad \text{pontos dados: } (0,1),\\ (1,\operatorname{cosh} 1).çã
O que precisamos encontrar: o comprimento da curva y=\operatorname{cosh} x para x variando de 0 até 1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (fórmula do comprimento de arco para curvas no plano): se y=f(x) é diferenciável em [a,b], então o comprimento L do gráfico de f de x=a até x=b é
L=\int_a^b \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando essa fórmula de forma simples: em cada ponto a curva tem uma inclinação f'(x). O elemento de arco (pequeno pedaço de reta que aproxima a curva) tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\Delta x. Integrando esses pedacinhos ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.

Passo 3

Precisamos do derivado de y=\operatorname{cosh} x. Vamos lembrar a definição básica das funções hiperbólicas em termos de exponenciais:
\operatorname{cosh} x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{sinh} x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.
Derivando \operatorname{cosh} x usando essas definições (ou sabendo a regra conhecida), obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x.
Então f'(x)=\operatorname{sinh} x no nosso caso.

Passo 4

Substituímos f'(x)=\operatorname{sinh} x na fórmula do comprimento de arco:
L=\int_0^1 \sqrt{1+\bigl(\operatorname{sinh} x\bigr)^2}\,dx.
Agora usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
\operatorname{cosh}^2 x-\operatorname{sinh}^2 x=1.
Rearranjando, temos 1+\operatorname{sinh}^2 x=\operatorname{cosh}^2 x. Assim o integrando fica
\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2 x}=\sqrt{\operatorname{cosh}^2 x}.
Observação importante: \operatorname{cosh} x\ge 1 para todo x, logo \sqrt{\operatorname{cosh}^2 x}=\operatorname{cosh} x (escolhemos o sinal positivo porque cosh é não negativa). Portanto
L=\int_0^1 \operatorname{cosh} x\,dx.

Passo 5

Agora integramos \operatorname{cosh} x. Uma primitiva conhecida é \operatorname{sinh} x, pois \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x. Então
L=\int_0^1 \operatorname{cosh} x\,dx=\bigl[\operatorname{sinh} x\bigr]_{0}^{1}=\operatorname{sinh} 1-\operatorname{sinh} 0.
E como \operatorname{sinh} 0=0, conclui-se
L=\operatorname{sinh} 1.

Resposta

\operatorname{sinh} 1

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