Ache o comprimento da curva
y^2=4(x+4)^2, 0 <= x <= 2, y>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida pela equação no intervalo de e onde . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para facilitar o trabalho. Como y = 2(x + 4) , podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dydx = ddx[2(x + 4)] = 2 em relação a , que é . Isso é importante porque a fórmula do comprimento do arco envolve a derivada da função.

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções da forma L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx :
Aqui, e são os limites do intervalo dado.

Passo 5

Substituindo a derivada que encontramos na fórmula:
L = integral0^2 raiz1 + (2)^2 , dx = integral0^2 raiz1 + 4 , dx = integral0^2 raiz5 , dx

Passo 6

A expressão dentro da integral é constante ( L = raiz5 integral0^2 , dx = raiz5 times (2 - 0) = 2raiz5 ), então podemos simplificar a operação de integração:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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