Ache o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida pela equação
no intervalo de
e onde
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para facilitar o trabalho. Como
, podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso é importante porque a fórmula do comprimento do arco envolve a derivada da função.
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções da forma
:
Aqui,
e
são os limites do intervalo dado.
Passo 5
Substituindo a derivada que encontramos na fórmula:
Passo 6
A expressão dentro da integral é constante (
), então podemos simplificar a operação de integração:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.