Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a medida da área:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que fica entre as curvas
e
no intervalo de
a
. Depois, precisamos descobrir qual é a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, encontrar os pontos onde essas funções se encontram e calcular a área entre elas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as curvas se cruzam, ou seja, resolver
dentro do intervalo de
a
. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Resolvendo
:
Assim, temos duas possibilidades:
Agora, encontramos os valores de
que satisfazem essas equações no intervalo de
a
:
-
em e -
em e
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, precisamos determinar qual função está por cima da outra em cada intervalo determinado por esses pontos. Isso nos ajudará a configurar a integral corretamente.
Testando valores entre os pontos:
- Entre
e , está acima de - Entre
e , está acima de - E assim por diante para os demais intervalos.
Passo 5
Vamos calcular a área somando as integrais das diferenças entre as funções em cada intervalo onde elas se cruzam. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Aplicando isso aos nossos intervalos e funções específicas, calculamos cada parte da área e somamos todas para obter o valor total.
Resposta
Após realizar os cálculos das integrais nos diferentes intervalos, a área delimitada pelas curvas
e
no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades quadradas.