Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a medida da área:
y=cos x e y=sen 2 x, 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que fica entre as curvas e no intervalo de a . Depois, precisamos descobrir qual é a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, encontrar os pontos onde essas funções se encontram e calcular a área entre elas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas se cruzam, ou seja, resolver dentro do intervalo de a . Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Resolvendo cos x = 2 sin x cos x Rightarrow cos x (1 - 2 sin x) = 0 :
Assim, temos duas possibilidades:
Agora, encontramos os valores de que satisfazem essas equações no intervalo de a :
  1. em e
  2. em e

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos determinar qual função está por cima da outra em cada intervalo determinado por esses pontos. Isso nos ajudará a configurar a integral corretamente.
Testando valores entre os pontos:
  • Entre e , está acima de
  • Entre e , está acima de
  • E assim por diante para os demais intervalos.

Passo 5

Vamos calcular a área somando as integrais das diferenças entre as funções em cada intervalo onde elas se cruzam. A fórmula geral para a área A = integrala^b |f(x) - g(x)| , dx entre duas curvas e de a é:
Aplicando isso aos nossos intervalos e funções específicas, calculamos cada parte da área e somamos todas para obter o valor total.

Resposta

Após realizar os cálculos das integrais nos diferentes intervalos, a área delimitada pelas curvas e no intervalo de a é aproximadamente unidades quadradas.

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